对数函数

定义

对数：若 $a^b=N$（$a>0,a\ne 1,N>0$），则 $b$ 叫作以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记 $b={\log }_{a}N$。其中 $a$ 为底数、$N$ 为真数。

两类常用对数：

• 常用对数：${\log }_{10}N$ 简记 $\lg N$；
• 自然对数：${\log }_{e}N$ 简记 $\ln N$（$e=2.71828\dots$ 自然常数）。

对数函数：函数 $y={\log }_{a}x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$）叫作对数函数。定义域 $(0,+\infty )$，值域 $\mathbb{R}$。

推导

对数的运算性质（$a>0,a\ne 1,M>0,N>0$）：

1. ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$；
2. ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$；
3. ${\log }_a{M}^r=r{\log }_{a}M$（$r\in \mathbb{R}$）；
4. 换底公式：${\log }_{a}M=\frac{{\log }_{b}M}{{\log }_{b}a}$（$b>0,b\ne 1$）；
5. 重要恒等式：$a^{{\log }_{a}N}=N$。

对数函数的图象与性质：

性质	$a>1$	$0<a<1$
定义域	$(0,+\infty )$	$(0,+\infty )$
值域	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
定点	过 $(1,0)$	过 $(1,0)$
单调性	单调递增	单调递减
当 $x>1$ 时	$y>0$	$y<0$
当 $0<x<1$ 时	$y<0$	$y>0$
图象走向	自左向右上升	自左向右下降

反函数关系：$y=a^x$ 与 $y={\log }_{a}x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称；定义域值域互换。

典例精析

例 1：计算 ${\log }_{2}32+{\log }_{2}4-{\log }_{2}2$。

${\log }_{2}32+{\log }_{2}4-{\log }_{2}2={\log }_2\frac{32\times 4}{2}={\log }_{2}64=6$

例 2：比较 ${\log }_{2}0.3$、${\log }_{2}0.5$、${\log }_{3}0.5$ 的大小。

底数 $2>1$ 函数 $y={\log }_{2}x$ 递增，$0<0.3<0.5$，故 ${\log }_{2}0.3<{\log }_{2}0.5<{\log }_{2}1=0$。

底数 $3>1$ 函数 $y={\log }_{3}x$ 递增，$0.5<1$ 故 ${\log }_{3}0.5<0$。

进一步比较 ${\log }_{2}0.5$ 与 ${\log }_{3}0.5$：因 ${\log }_{2}0.5=-1$、${\log }_{3}0.5=-{\log }_{3}2$，由 $3>2$ 知 ${\log }_{3}2<1$，故 $-{\log }_{3}2>-1$ 即 ${\log }_{3}0.5>{\log }_{2}0.5$。

综上 ${\log }_{2}0.3<{\log }_{2}0.5<{\log }_{3}0.5<0$。

例 3：求函数 $y={\log }_2(x^2-1)$ 的定义域。

需 $x^2-1>0$ 即 $x<-1$ 或 $x>1$，定义域 $(-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )$。

对比

项目	指数函数 $y=a^x$	对数函数 $y={\log }_{a}x$
互为反函数	$y=a^x$	$y={\log }_{a}x$
定义域	$\mathbb{R}$	$(0,+\infty )$
值域	$(0,+\infty )$	$\mathbb{R}$
定点	$(0,1)$	$(1,0)$
单调性（$a>1$）	递增	递增
图象关于	直线 $y=x$ 对称	直线 $y=x$ 对称