二次函数与利润最大化问题

定义

商品销售中，价格变动同时影响每件利润和销售量，总利润

$\text{总利润}=\text{每件利润}\times \text{销售量}$

当两件事都随同一价格变量 $x$ 线性变化时，乘积展开为关于 $x$ 的二次函数

$W(x)=a{x}^2+bx+c$

$a<0$ 时抛物线开口向下，顶点处取得最大利润；最优定价受实际条件（售价不低于成本、销量非负）限制。

建模四步

解这类题有一套固定的流程，照着走就不易漏项：

1. 设变量：设每件涨价（或降价）$x$ 元。设变化额而不是设定价，单件利润与销量都直接平移，列式最简
2. 写两个因式：单件利润 = 原单件利润 $\pm x$；销售量 = 原销量 $\mp mx$。两个因式都要跟着 $x$ 变，漏改一个是最典型的错
3. 展开成二次式：乘开后整理成 $W=a{x}^2+bx+c$，先看 $a$ 的符号确认开口向下
4. 求顶点并核对范围：顶点横坐标 $x_0=-\frac{b}{2a}$ 必须在题目允许的范围内（如「最多涨 8 元」），越界则到最近的端点取最大

最后一步把 $x_0$ 回代求最大利润，再用「原售价 $\pm x_0$」写出实际定价。单位、小数按题目要求处理。

顶点越界怎么办

二次函数在闭区间上的最值不一定总在顶点。设允许的 $x$ 范围是 $[0,m]$：

• 顶点 $x_0$ 落在 $[0,m]$ 内：最大值就是 $W(x_0)$
• 顶点在区间右侧（$x_0>m$）：开口向下，函数在 $[0,m]$ 上单调递增，最大值在右端点 $W(m)$
• 顶点在区间左侧：同理在左端点 $W(0)$ 取最大

判断的方法不是死记，而是想清楚抛物线在区间这一段是增还是减。

推导

建立模型：设商品进价 $c$、原售价 $p$、原销量 $n$；每降价 1 元多售 $m$ 件，设每件降价 $x$ 元。则

$\text{每件利润}=p-c-x,\text{销售量}=n+mx$

总利润

$W=(p-c-x)(n+mx)=-m{x}^2+[m(p-c)-n]x+n(p-c)$

二次项系数为 $-m<0$，抛物线开口向下，$W$ 有最大值。$■$

求最优：配方法或顶点公式给出最大值点

$x_0=-\frac{b}{2a}=\frac{m(p-c)-n}{2m}$

$x_0$ 落在可行区间（$0\le x\le p-c$，且销量非负）内时，最大利润为 $W(x_0)$，最优售价为 $p-x_0$；若 $x_0$ 落在区间外，则由单调性在离顶点最近的端点取最大值。$■$

与方程的衔接：令 $W(x)$ 等于某个目标利润值，得到一元二次方程，其两个根表示达到该利润的两种定价（薄利多销或厚利少销）；抛物线与「保本线」$W=0$ 的交点即不盈不亏的临界价格，这正是二次函数与一元二次方程关系的实际背景。

典例精析

某商品进价每件 40 元，售价 60 元时每周可卖 300 件；市场调查：每件每涨价 1 元每周少卖 10 件。定价多少时周利润最大？

设每件涨价 $x$ 元，则每件利润 $(20+x)$ 元、销量 $(300-10x)$ 件：

$W=(20+x)(300-10x)=-10x^2+100x+6000$

配方：$W=-10(x-5{)}^2+6250$。因 $-10<0$，当 $x=5$（在允许范围 $0\le x\le 30$ 内）时利润最大为 6250 元，此时定价 $60+5=65$ 元。

例 2（顶点越界）：某商品进价 40 元，售价 50 元，每天卖 100 件；每涨 1 元少卖 10 件。若规定售价最高 53 元，问怎样定价利润最大？

设每件涨价 $x$ 元，则 $0\le x\le 3$（售价不超过 53 元）：

$W=(10+x)(100-10x)=1000-100x+100x-10x^2=1000-10x^2$

即 $W=-10x^2+1000$，顶点在 $x=0$ 处。而 $x$ 的范围是 $[0,3]$，开口向下，函数在 $[0,3]$ 上单调递减，故最大值在 $x=0$ 取——不涨价时利润最大，为 $1000$ 元。这种「越界取端点」的情形必须核对范围后才能下结论。

例 3（目标利润与方程）：上例中若要利润达到 960 元，定价可有哪些选择？

令 $W=960$：$-10x^2+1000=960$，得 $x^2=4$，$x=\pm 2$。涨价 $2$ 元（定价 $52$ 元）或降价 $2$ 元（定价 $48$ 元）都能达到 960 元利润，对应两种定价策略（两个解都满足不低于成本 40 元、不超过限价 53 元）。

这里「达到某利润」就变成了解一元二次方程——利润问题与一元二次方程在此交汇。

对比

量	降价 x 元	涨价 x 元
每件利润	$p-c-x$	$p-c+x$
销售量	$n+mx$	$n-mx$
二次项系数	负	负
最值位置	顶点（需在范围内）	顶点（需在范围内）

与其他知识的联系

利润最大化是二次函数最值最直接的应用，也是「二次函数 → 一元二次方程」这条线的现实入口：求最大利润用顶点，求达到某目标利润的定价则退化为解方程。

它的建模套路（设变量 → 写两个随 $x$ 变化的因式 → 展开成二次式 → 求顶点并核对范围）适用于所有「两个量此消彼长」的优化问题。往后，这类带约束的最值在高中会以「线性规划」「导数求最值」等更系统的方式重新出现。