分式方程

定义

分式方程：分母中含有未知数的方程。例如 $\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x}$ 是分式方程；$\frac{1}{2}x+1=0$ 不是分式方程（分母为常数）。

推导

分式方程的解法步骤：

1. 去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母 $M$，化为整式方程；
2. 解整式方程：按一元一次方程或一元二次方程的解法求出根；
3. 验根：把根代入最简公分母 $M$，若 $M=0$ 则为增根，舍去；
4. 写答：通过检验的根才是原分式方程的解。

增根是怎么来的：去分母这一步是「两边同乘 $M$」。若某个 $x$ 使 $M=0$，这一步就相当于两边同乘了 $0$——等式虽然还成立（$0=0$），却已无法反推回原方程，因为原方程在这些 $x$ 处分母为零、根本没有意义。这样的根是变形过程自己引进来的，称为增根，必须舍去。

一元一次方程去分母时乘的是数字（各分母的最小公倍数），不可能为 $0$，所以不会产生增根；分式方程乘的是含字母的式子，可能为 $0$，所以必须验根。这就是两类方程在这件事上的根本差别。

去分母时的两个注意点

1. 每一项都要乘，包括不含分母的常数项与整式项——漏乘是最常见的错误
2. 分子是多项式时要加括号，如 $\frac{x+1}{x-2}$ 去掉分母后应写成 $(x+1)$，否则会漏乘其中的后一项

已知「有增根」求参数

有一类题反过来问：若分式方程有增根，求参数的值。解法是三步：

1. 由分母为零找出增根只可能是谁——如分母为 $x-3$，则增根只能是 $x=3$
2. 去分母化为整式方程，把增根的值代入
3. 解出参数

道理是：增根既然由去分母那一步产生，它就一定是去分母后所得整式方程的根。于是把 $x=3$ 代进去，等式必成立。

列分式方程解应用题

与列整式方程解应用题相比，只多一步检验：

1. 审题，找一个等量关系——工程问题常用「各部分效率之和等于总效率」，行程问题常用「时间 $=$ 路程 $÷$ 速度」
2. 设未知数，列分式方程
3. 去分母、求解
4. 双重检验：既验是否为增根（分母不为零），也验是否符合实际意义（时间、人数为正，速度合理）

典例精析

例 1：解方程 $\frac{100}{20+x}=\frac{60}{20-x}$。

最简公分母为 $(20+x)(20-x)$，两边同乘：

$100(20-x)=60(20+x)$

展开：

$2000-100x=1200+60x$

移项合并：

$-160x=-800,x=5$

检验：$x=5$ 时 $(20+x)(20-x)=25\times 15=375\ne 0$，故 $x=5$ 是原方程的解。

例 2：解方程 $\frac{x}{x-3}=\frac{3}{x-3}-2$。

最简公分母为 $x-3$，两边同乘：

$x=3-2(x-3)$

去括号：$x=3-2x+6$，移项合并：$3x=9$，得 $x=3$。

检验：$x=3$ 时 $x-3=0$，分母为零，故 $x=3$ 是增根，原方程无解。

注意「原方程无解」有两种可能：去分母后的整式方程本身无解（如推出 $0=1$），或者求出的根全是增根。例 2 属于第二种，所以答案要写「无解」而不是「$x=3$」。

例 3：甲单独完成某项工程需 $6$ 天，甲乙合作需 $4$ 天完成，求乙单独做需要多少天。

设乙单独做需 $t$ 天。把总工程量看作 $1$，则甲每天完成 $\frac{1}{6}$，乙每天完成 $\frac{1}{t}$，合作每天完成 $\frac{1}{4}$：

$\frac{1}{6}+\frac{1}{t}=\frac{1}{4}$

去分母（两边同乘 $12t$）：$2t+12=3t$，得 $t=12$。

检验：$t=12$ 时分母不为零，且符合实际意义。故乙单独做需要 $12$ 天。

对比

步骤	一元一次方程	分式方程
去分母	同乘各分母最小公倍数	同乘最简公分母 $M$（含字母）
求解	解整式方程	解去分母后的整式方程
验根	通常不必（不会引入增根）	必须验根（验 $M\ne 0$）
无解情形	一次方程矛盾时无解	整式方程矛盾或根全为增根时无解