分数乘整数和分数乘分数

算理：为什么是分子乘分子、分母乘分母

这一条同样不能让学生死记，用面积模型一讲就通。

以 $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$ 为例：画一个长方形，先竖着平均分成 4 份、取其中 3 份，得到长方形的 $\frac{3}{4}$；再横着平均分成 5 份，在刚才那 $\frac{3}{4}$ 里取其中 2 份。

这时整个长方形被分成了 $4\times 5=20$ 个小格，而取到的是 $3\times 2=6$ 个小格，所以结果是 $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$。

于是两个问题都有了答案：

• 分母相乘（$4\times 5$）：一共把整体分成了多少份
• 分子相乘（$3\times 2$）：最终取走了多少份

学生一旦在纸上画出这个图，“为什么分母要相乘”就不再是规则，而是看得见的事实。

整数只乘分子，分母不变

$\frac{2}{9}\times 3$ 里，3 是整数，它只与分子相乘：

$\frac{2}{9}\times 3=\frac{2\times 3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

写成 $\frac{2\times 3}{9\times 3}$ 是最常见的错法——学生觉得”两边都要乘”才公平。可以这样纠正：把整数看成 $\frac{3}{1}$，

$\frac{2}{9}\times \frac{3}{1}=\frac{2\times 3}{9\times 1}=\frac{6}{9}$

分母乘的是 1，当然不变。这一句话就能堵住这类错误。

典例精析

例 1 $\frac{2}{9}\times 3=\frac{2\times 3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

例 2 $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3\times 2}{4\times 5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$

也可以先约分再乘：$\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$ 中 2 和 4 可约，得 $\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}=\frac{3}{10}$。先约分数字小，不容易算错，建议养成习惯。

例 3 $2\frac{1}{3}\times \frac{3}{7}=\frac{7}{3}\times \frac{3}{7}=\frac{21}{21}=1$

带分数必须先化假分数。这一题的结果是 1，正好可以用来检验：两个数互为倒数，相乘得 1。

例 4 $\frac{1}{2}\times 4=\frac{1\times 4}{2}=2$

结果比 $\frac{1}{2}$ 大，用来纠正”乘法一定变大、分数乘法一定变小”这两种极端印象——看乘的数比 1 大还是比 1 小。

课堂上的真实错法

错法一：分母也乘整数。 已如上述，把整数写成 $\frac{n}{1}$ 即可解决。

错法二：忘记约分。 算出 $\frac{6}{20}$ 就停手。可以规定”结果必须是最简分数”，写完自查一次。

错法三：带分数直接乘。 拿整数部分 $2$ 去乘 $\frac{3}{7}$。纠正办法是强制第一步：“遇带分数，先化假分数。”

错法四：把分数乘法和分数加减法搞混。 有学生算 $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}$ 时去通分——通分是加减法的事，乘法不需要。可以点明：加减要同分母，乘法不管分母。

给家长的讲法

用一张纸就够了：把纸对折两次取 $\frac{3}{4}$，再换个方向分成 5 份取 2 份，让孩子数一数一共取到了几格、总共分成几格。这个动作做完，分数乘法的算理就不用背了。

如果孩子出现”分母也乘整数”的错法，别急着说对错，让他把整数写成分母是 1 的分数再算一遍——他会自己发现分母乘的是 1。

对比