概率的概念与计算

定义

概率的频率定义：在大量重复试验中，如果事件 $A$ 发生的频率 $\frac{m}{n}$（$n$ 为试验总次数，$m$ 为事件 $A$ 发生的次数）稳定在某常数 $p$ 附近，则称 $p$ 为事件 $A$ 的概率，记作

$P(A)=p$

频率为什么会稳定：一次掷硬币出现正面还是反面完全无法预测，但掷上几千次，正面出现的比例几乎总落在 $0.5$ 附近，而且试验次数越多，波动越小。这种「个别随机、整体稳定」的规律叫频率的稳定性，它是整座概率理论的实验基础。

正因为频率只是「趋于」概率，不能拿一次试验的频率当概率：掷 $10$ 次骰子出现 $3$ 次 $6$，频率是 $0.3$，但掷出 $6$ 的概率仍是 $\frac{1}{6}$。试验次数少时频率偏离概率很远，是很正常的事。

概率的取值范围为

$0\le P(A)\le 1$

特别地：

• 必然事件：每次试验一定发生，$P(A)=1$；
• 不可能事件：每次试验一定不发生，$P(A)=0$；
• 随机事件：可能发生也可能不发生，$0<P(A)<1$。

注意：在初中研究的等可能模型里，$P(A)=0$ 的事件就是不可能事件、$P(A)=1$ 的事件就是必然事件。「概率为 0 的事件仍可能发生」是更一般的概率模型（大学内容）里的结论，初中不用纠结。

古典概型：怎么算出概率

当一次试验的所有可能结果有限个且等可能时，事件 $A$ 的概率可以用比值直接算出：

$P(A)=\frac{m}{n}$

其中 $n$ 是所有可能的结果总数，$m$ 是事件 $A$ 包含的结果数，并且每个结果出现的可能性相同。

这就是古典概型的算法。它成立的关键在「等可能」——掷一枚均匀骰子，$6$ 个面出现的机会相同；若骰子灌了铅，各个面不再等可能，这个公式就不能用了。

用公式做题的标准流程是三步：

1. 数清所有可能的结果总数 $n$（先想清楚记结果时是「有序」还是「无序」）
2. 数清事件 $A$ 包含的结果数 $m$
3. 代入公式并化简

两步试验：列表法与树状图法

掷两枚硬币、先后摸两次球这类「分两步」的试验，难点是不重不漏地数出所有结果。两种工具可选。

列表法：把第一步的结果排成行、第二步的结果排成列，每个格子对应一种结果。适合每步结果数不太多的情形。以掷两枚硬币为例：

	第一枚正	第一枚反
第二枚正	（正，正）	（反，正）
第二枚反	（正，反）	（反，反）

共 $4$ 种等可能结果：两枚都正面朝上的概率为 $\frac{1}{4}$；一正一反（不论先后）的概率为 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

树状图法：从起点出发，第一层是第一步的各种结果，第二层再从每个结果往下分出第二步的各种结果，每一条从起点到末端的路径就是一种结果。它更适合三步及以上的试验。

要不要考虑顺序：（正，反）与（反，正）是两种结果，不能合并——合并就意味着它们不再等可能，因为合并后这一格的概率是 $\frac{2}{4}$，而单个格子只有 $\frac{1}{4}$。怎么记都可以，但同一道题里必须统一。

放回与不放回：袋中有 $2$ 个红球、$1$ 个白球，连续摸两次。

• 放回：两次都是从 $3$ 个球里选，共 $3\times 3=9$ 种等可能结果
• 不放回：第一次 $3$ 种选择，第二次只剩 $2$ 种，共 $3\times 2=6$ 种，且第二次的结果依赖第一次

放回与否直接改变第二次的选择数，这是摸球题最集中的失分点。

对比

频率与概率对照如下：

项目	频率	概率
定义	试验中事件发生的次数与总次数之比 $\frac{m}{n}$	大量重复试验中频率所稳定的常数 $p$
是否随试验变化	随试验次数变化	是常数，不随试验变化
实例	掷骰子 $10$ 次出现 $6$ 三次，频率 $\frac{3}{10}$	掷骰子出现 $6$ 的概率 $\frac{1}{6}$

典例精析

例 1：掷一枚均匀骰子，求出现偶数面的概率。

骰子共有 $6$ 个面，偶数面有 $2,4,6$ 三个，每个面等可能出现。故

设事件 $A$ 为「掷出偶数面」，则

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

例 2：区分下列事件类型。

• 「抛出的石子会落地」——每次一定发生，是必然事件，$P=1$；
• 「掷骰子出现 $7$ 点」——骰子无 $7$ 点，每次一定不发生，是不可能事件，$P=0$；
• 「掷骰子出现 $5$ 点」——可能发生也可能不发生，是随机事件，$P=\frac{1}{6}$。

例 3：袋中有 $2$ 个红球和 $1$ 个白球，除颜色外完全相同。随机摸出一个后放回，再摸一个，求两次都摸到红球的概率。

第一次有 $3$ 种可能结果，放回后第二次仍有 $3$ 种，共有 $3\times 3=9$ 种等可能结果；两次都是红球的结果有 $2\times 2=4$ 种。故所求概率为

$P=\frac{4}{9}$

若改为不放回，则总共只有 $3\times 2=6$ 种结果，两次都是红球的有 $2\times 1=2$ 种，概率变为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。同一个问题，放回与否答案不同。

与其他知识的联系

概率是初中「统计与概率」板块的收尾内容。它与前面的统计知识配套使用：用统计的方法（频率、扇形图、平均数）描述已经发生的数据，用概率的方法预测尚未发生的随机现象。

它的两条主线是「算」与「估」：古典概型负责算（等可能时直接求比值），频率方法负责估（用大量重复试验的频率去逼近未知概率）。到了高中，还会加入互斥事件、独立事件、条件概率与分布列，把这里的规则系统化。