商与被除数的大小关系

为什么”除以小于 1 的数会变大”

这是学生直觉上最难接受的一条。原因是他们对除法的理解停留在”平均分”，而没建立”包含除”的印象。

除法问的是：被除数里面能分出几个除数。

• 6 里面有几个 1？6 个
• 6 里面有几个 $\frac{2}{3}$？9 个（因为 $\frac{2}{3}$ 比 1 小，装得多）
• 6 里面有几个 0.5？12 个（0.5 更小，装得更多）

除数越小，每一份越小，能分出的份数就越多，商自然越大。

课堂上用”分绳子”讲最有效：6 米长的绳子，每 2 米一段能分 3 段，每 1 米一段能分 6 段，每 $\frac{2}{3}$ 米一段能分 9 段——每段越短，段数越多。这个画面一出来，规律就不用背了。

三个层次的理解

学生对这条规律的掌握通常分三层，教学时可以逐层推进：

1. 会背：除数大于 1 商变小，小于 1 商变大。（最弱，容易忘）
2. 会算：算出结果后比较大小验证。（能自查）
3. 会解释：能说出”因为每段越小，段数越多”。（真正理解，不会忘）

考试中第 2 层最实用——算完立刻用规律自查，能拦住绝大多数计算错误。

典例精析

例 1 不计算，判断 $6÷\frac{2}{3}$ 的商与 6 的大小。

除数 $\frac{2}{3}<1$，所以商 $>6$。实际 $6÷\frac{2}{3}=9$。

例 2 不计算，判断 $\frac{3}{4}÷\frac{5}{2}$ 的商与 $\frac{3}{4}$ 的大小。

除数 $\frac{5}{2}>1$，所以商 $<\frac{3}{4}$。实际 $\frac{3}{4}\times \frac{2}{5}=\frac{3}{10}<0.75$。

例 3 小明算 $6÷\frac{2}{3}$ 得到 4，对吗？

不对。$\frac{2}{3}<1$，商应大于 6，而 4 比 6 小，立刻可知算错——他大概是乘了 $\frac{2}{3}$ 而不是它的倒数。正确答案 $6\times \frac{3}{2}=9$。

例 4 比较 $6÷0.5$ 与 $6÷2$ 的大小。

$6÷0.5=12$，$6÷2=3$。除数 0.5 小于 1，商变大；除数 2 大于 1，商变小。

课堂上的真实错法

错法一：坚信”除完一定变小”。 这是整数除法留下的思维定式——在整数范围内除数最小是 1，商确实不会超过被除数。学了分数除法后这个印象必须打破。用分绳子的例子纠正最直接。

错法二：乘了原数而不是倒数。 $6÷\frac{2}{3}$ 算成 $6\times \frac{2}{3}=4$。这类错误可以完全靠本规律自查：商比被除数小，与”除数小于 1”矛盾。

错法三：把 0 混进来。 讨论 $0÷\frac{1}{2}$ 时套用规律说”商大于 0”——实际等于 0。要说明规律只对正数被除数成立。

给家长的讲法

不用讲规律，问一个问题就行：“6 米绳子，每 $\frac{2}{3}$ 米剪一段，能剪几段？” 孩子一算发现能剪 9 段，比 6 还多，自己就会问”为什么变多了”——这时候再讲”每段越短，段数越多”，一次就通。

之后每次做分数除法，提醒他用这个规律自查一遍：除数比 1 小吗？那商应该比被除数大——数字对不上肯定算错了。这个自查习惯能救回不少分。