增加了百分之几和增加到百分之几

第一步先找单位「1」

这一章所有的错，几乎都不是算错，而是除错了数。

找单位「1」的方法只有一条：看「比、是、占、相当于」后面跟的是谁，谁就是单位「1」，谁就做除数。

• 「女生比男生多百分之几」 → 比男生 → 除数 = 男生人数
• 「今年产量是去年的百分之几」 → 是去年 → 除数 = 去年产量
• 「男生占全班的百分之几」 → 占全班 → 除数 = 全班人数

可以让学生在题目上把单位「1」圈出来再列式，这一步能挡掉一半的错误。

经典陷阱：甲比乙多 25%，乙比甲少百分之几

这是六年级百分数最经典的一道题，答案是 20%，不是 25%。

设乙为 100，则甲 $=100\times (1+25\%)=125$。

现在反过来问：乙比甲少多少？单位「1」换成了甲，除数变成 125：

$\frac{125-100}{125}=\frac{25}{125}=20\%$

关键：正着比和反着比，单位「1」不同，结果就不同。学生答 25% 是因为沿用了原来的单位「1」。

另一个高频陷阱：先涨后降

一件商品先涨价 20%，再降价 20%，现价与原价相比：

$100\times (1+20\%)\times (1-20\%)=100\times 1.2\times 0.8=96$

比原价少了 4%，也就是降了 4%。

为什么不是回到 100？因为第二次的 20% 是以 120 为基数算的，20% 的 120 比 20% 的 100 多。这个例子讲透之后，学生对「单位『1』会变」就有了实感。

典例精析

例 1 原价 100 元，现价 120 元。增加了百分之几？增加到百分之几？

增加了：$\frac{120-100}{100}=20\%$。

增加到：$\frac{120}{100}=120\%$。

例 2 男生 20 人，女生 25 人。女生比男生多百分之几？男生比女生少百分之几？

女生比男生多：$\frac{25-20}{20}=\frac{5}{20}=25\%$。

男生比女生少：$\frac{25-20}{25}=\frac{5}{25}=20\%$。

同一组数据，两个问题，两个答案——因为单位「1」从男生换成了女生。

例 3 一件衣服降价 30 元后售价 120 元，降价百分之几？

原量是 $120+30=150$ 元（注意不是 120），降价率 $=\frac{30}{150}=20\%$。

这里最容易拿 120 当除数。提醒学生：「降了、涨了、多了、少了」这些词前面的量，都是和原来的比。

课堂上的真实错法

错法一：除数是现量。 把「增加了百分之几」算成 $\frac{现量-原量}{现量}$。纠正办法是每道题先圈单位「1」。

错法二：忘记减原量。 增加率直接写 $\frac{现量}{原量}$，算出来的其实是「增加到百分之几」。

错法三：默认涨跌对称。 见「先涨后降」一节。

错法四：百分数带单位。 百分数表示两个量的倍比关系，不能写「20% 元」。

给家长的讲法

孩子做错这类题，先别讲公式，问一句：「你在和谁比？」 只要他能说出「和原来的比」「和男生比」，列式就对了一大半。

生活里随手可练：超市里同一商品两个规格，让孩子算「大包装比小包装多百分之几」；家里交电费，算「这个月比上个月增加了百分之几」。这类题的价值不在于算，而在于养成「先找基准」的习惯——这个习惯到初中、高中都会一直用。

对比

甲比乙多 $25\%$（以乙为单位「1」），乙比甲少 $25\%÷125\%=20\%$，基准不同结果不同。先涨后降同一个百分率，结果不等于原价。