质数和合数

1 为什么被排除在外

学生最容易坚持「1 是质数」，因为 1 不能被其他数整除，看起来「很质数」。

但定义是硬的：质数要求有两个因数，而 1 只有一个因数（它本身）。

可以这样讲：把所有自然数按因数个数分三类——

• 只有 1 个因数的：1
• 只有 2 个因数的：质数
• 有 3 个及以上因数的：合数

1 单独占一类，哪边都不属于。这个分类一旦画成表，学生就不会再问「1 到底算什么」。

2 是唯一的偶质数

这一条值得单独强调，因为它是考试的常客。

学生学完「偶数能被 2 整除」之后，容易推断「偶数都是合数」——但 2 是反例：2 的因数只有 1 和 2 两个，是质数。

其余偶数（4、6、8……）都至少有 1、2 和本身三个因数，都是合数。

所以：2 是唯一的偶质数，也是最小的质数。

质数与奇数不是一回事

这是本节最需要辨析的一组概念，因为学生常把两对概念混着用：

9、15、21、25 都是奇数却是合数；2 是偶数却是质数。

讲的时候可以画一个四象限表，让学生自己填几个数进去——填完就清楚了。

20 以内的质数

建议记住，做题会快很多：

$2,3,5,7,11,13,17,19$

共 8 个。注意这里面只有 2 是偶数。

分解质因数（拓展）

把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫分解质因数。

$12=2\times 2\times 318=2\times 3\times 3$

方法：从最小的质数 2 开始试除，除到商是质数为止。

它是后面学习最大公因数、最小公倍数、约分通分的工具，值得练熟。

典例精析

例 1 判断 7、9、1、2 分别是质数还是合数。

7 的因数：1、7 → 质数

9 的因数：1、3、9 → 合数

1 → 既不是质数也不是合数

2 的因数：1、2 → 质数

例 2 判断：「所有的偶数都是合数。」这句话对吗？

不对。2 是偶数，但它是质数。

例 3 判断：「所有的质数都是奇数。」这句话对吗？

不对。2 是质数，但它是偶数。

例 4 把 24 分解质因数。

$24=2\times 12=2\times 2\times 6=2\times 2\times 2\times 3$

即 $24=2^3\times 3$。

例 5 20 以内既是奇数又是合数的数有哪些？

9、15。（注意 1 既不是质数也不是合数，不算。）

课堂上的真实错法

错法一：认为 1 是质数。 用「按因数个数分类」的表纠正。

错法二：认为奇数都是质数。 举 9、15 反例。

错法三：认为偶数都是合数。 举 2 反例。

错法四：把 0 也算进来。 提醒：只在非零自然数范围内讨论，0 不在范围内。

错法五：分解质因数不彻底。 $24=4\times 6$ 就停手。要求：必须全部分解成质数相乘。

给家长的讲法

孩子问「1 是不是质数」时，别直接给答案，让他数一数 1 有几个因数——只有 1 个。再告诉他质数要有「两个」因数，他自己就能得出「1 不够格」的结论。

讲「2 是唯一的偶质数」时，可以让孩子从 2 开始一个个往后试：2 是质数、4 是合数、6 是合数、8 是合数……他很快会发现，除了 2 以外的偶数都能被 2 整除，所以都是合数。

20 以内的质数建议让他背下来（就 8 个），后面学分数的约分、通分时天天要用。