二次函数顶点坐标与最值公式

定义

二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（$a\ne 0$）的顶点坐标为：

$$\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$$

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最值：

• 当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值

$y_{\min }=\frac{4ac-b^2}{4a}$

• 当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值

$y_{\max }=\frac{4ac-b^2}{4a}$

推导（配方法）

把一般式配方：

$y=a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c$

$=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}\right)+c$

$=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{b^2}{4a}+c$

$=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$

这就是顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$，其中

$h=-\frac{b}{2a},k=\frac{4ac-b^2}{4a}$

对称轴

抛物线的对称轴是过顶点且垂直于 $x$ 轴的直线：

$x=-\frac{b}{2a}$

典例精析

例 1 求 $y=x^2-4x+3$ 的顶点坐标和最值。

$a=1$，$b=-4$，$c=3$。

顶点横坐标：

$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times 1}=2$

顶点纵坐标：

$y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\times 1\times 3-(-4{)}^2}{4\times 1}=\frac{12-16}{4}=-1$

顶点为 $(2,-1)$。因为 $a=1>0$，函数有最小值 $-1$。

例 2 求 $y=-2x^2+4x+1$ 的最大值。

$a=-2<0$，函数有最大值。

$x=-\frac{4}{2\times (-2)}=1$

$y_{\max }=\frac{4\times (-2)\times 1-4^2}{4\times (-2)}=\frac{-8-16}{-8}=3$

最大值为 3。

对比

形式	表达式	顶点	适用场景
一般式	$y=a{x}^2+bx+c$	公式计算	已知系数直接求
顶点式	$y=a(x-h{)}^2+k$	$(h,k)$	已知顶点直接写
交点式	$y=a(x-x_1)(x-x_2)$	横坐标 $(x_1+x_2)/2$	已知与 x 轴交点

注意事项

负号：$h=-\frac{b}{2a}$ 的负号最容易丢。若 $b$ 本身是负数（如 $b=-4$），负负得正，$h=2$。

纵坐标：$k=\frac{4ac-b^2}{4a}$，分子是 $4ac-b^2$，不是 $b^2-4ac$。后者是一元二次方程的判别式 $\Delta$，二者差一个负号。

最值方向：必须先判断 $a$ 的符号。$a>0$ 有最小值，$a<0$ 有最大值，不能一概而论。