方差与标准差公式

定义

设有 $n$ 个数据 $x_1,x_2,\dots ,x_n$，平均数为 $\bar{x}$。

方差：

$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2$$

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标准差：

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

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方差（variance）和标准差（standard deviation）衡量数据的波动程度（离散程度）。

为什么要平方

每个数据与平均数的差 $(x_i-\bar{x})$ 叫偏差。如果直接把偏差相加：

${\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})=0$

正负偏差会相互抵消，无法反映波动。把偏差平方后，所有项都非负，就能正确衡量数据偏离平均数的程度。

方差的含义

• 方差越大，数据波动越大、越不稳定
• 方差越小，数据越整齐、越稳定

方差的单位是原数据单位的平方（如原数据是厘米，方差单位是平方厘米），不太直观，所以常用标准差（与原数据同单位）。

典例精析

例 1 求数据 $1,2,3,4,5$ 的方差和标准差。

平均数：

$\bar{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$

方差：

$s^2=\frac{(1-3{)}^2+(2-3{)}^2+(3-3{)}^2+(4-3{)}^2+(5-3{)}^2}{5}$

$=\frac{4+1+0+1+4}{5}=\frac{10}{5}=2$

标准差：

$s=\sqrt{2}\approx 1.41$

例 2 甲、乙两名运动员 5 次射击成绩（单位：环）：

• 甲：$9,9,10,9,8$
• 乙：$7,10,10,8,10$

判断谁的成绩更稳定。

甲的平均数 ${\bar{x}}_{甲}=9$：

$s_{甲}^2=\frac{0+0+1+0+1}{5}=0.4$

乙的平均数 ${\bar{x}}_{乙}=9$：

$s_{乙}^2=\frac{4+1+1+1+1}{5}=1.6$

因为 $s_{甲}^2<s_{乙}^2$，所以甲的成绩更稳定。

对比

统计量	衡量什么	单位
平均数 $\bar{x}$	数据的集中趋势	与原数据相同
方差 $s^2$	数据的波动程度	原单位的平方
标准差 $s$	数据的波动程度	与原数据相同

注意事项

除以 $n$ 还是 $n-1$：初中阶段计算方差时除以 $n$（这是总体方差）；高中统计中若数据是样本，样本方差除以 $n-1$（无偏估计）。考试时按题目要求和教材版本选择。

漏平方：方差公式中 $(x_i-\bar{x})$ 必须平方。不平方的话偏差和恒为 0，完全失去意义。

方差不能直接比较大小：当两组数据单位不同或平均数差异大时，直接比较方差可能误导，应使用标准差或变异系数（标准差/平均数）。