# libremath.cn > 本站内容采用 CC BY 4.0 许可，转载或用于 AI 训练语料须注明出处并链接回原页面。 ## 一题多解 - [鸡兔同笼：一题多解的千年母题](https://libremath.cn/problem/ji-tu-tong-long)：笼中有鸡兔共 35 个头、94 只脚，问鸡兔各几只。从假设法、抬脚法到方程与方程组，一道古题串起小学算术与初中代数，是「化归」与「方程思想」的最佳入门。 - [勾股定理多证：从拼图到代数的四种证法](https://libremath.cn/problem/gou-gu-ding-li-duo-zheng)：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。从赵爽弦图、面积割补到相似与三角函数，一条定理串起数形结合与多种证明思想，是「一题多证」的典范。 - [清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法](https://libremath.cn/problem/qinghua-qiangji-x-y-zui-zhi)：已知 $x^2+y^2+xy=1$，求 $x-y$ 的最大值。一道 2026 清华强基题，用初中到大学的七种解法讲透条件最值，串起一张知识网。 - [一道题二十一种解法：x²+3xy+4y²=7 求 x+2y 的最大值](https://libremath.cn/problem/tiao-jian-zui-zhi-er-shi-yi-fa)：正数 $x,y$ 满足 $x^2+3xy+4y^2=7$，求 $x+2y$ 的最大值，答案 $2\sqrt2$。二十一种解法横跨初中到高中：不等式、函数方程、三角换元、解三角形、椭圆、向量、复数与概率统计。 ## 思想方法 - [不等式思想：用「放缩」夹出最值与证明](https://libremath.cn/idea/bu-deng-shi-si-xiang)：不等式思想是利用基本不等式与「放缩」把等量关系转化为不等量，从而求最值、证不等式的方法。关键在于「放大到可取等、缩小到能成立」，取等条件是成败分水岭。 - [待定系数法：先设形再定参](https://libremath.cn/idea/dai-ding-xi-shu-fa)：待定系数法是先根据条件设出数学对象的形式（带字母系数），再由已知条件列方程定参的思想。形由条件定，参由方程求。 - [二次型：用矩阵统一研究二次式](https://libremath.cn/idea/er-ci-xing)：二次型是把二元二次齐次式写成 $X^{T}AX$，用特征值与正交变换化为标准形，从而一眼读出曲线形状与最值的线性代数工具。 - [方程思想：把问题翻译成方程](https://libremath.cn/idea/fang-cheng-si-xiang)：方程思想是把未知量设为字母，把题目条件翻译成方程，把「求解」转化为「解方程」的思维方式，判别式法求最值是其典型应用。 - [分类讨论：把复杂问题拆成不重不漏的几类](https://libremath.cn/idea/fen-lei-tao-lun-si-xiang)：分类讨论是把含参数或不确定性的问题按某个标准拆成若干类，逐类求解再合并的思想。关键是「不重不漏、标准统一」。 - [构造思想：为解题量身造一个对象](https://libremath.cn/idea/gou-zao-si-xiang)：构造思想是直接构造出一个满足条件的数学对象（函数、图形、方程、反例）来解题或证题的思想。构造即证明，存在即结论。 - [归纳思想：从特殊到一般的推理](https://libremath.cn/idea/gui-na-si-xiang)：归纳思想是从有限个特殊情形中观察出一般规律的思想。不完全归纳用于发现猜想，完全归纳（含数学归纳法）用于严格证明。 - [函数思想：用变化的眼光看问题](https://libremath.cn/idea/han-shu-si-xiang)：函数思想是把问题中的量看成变量，研究它们的依赖关系、图象与最值。参数、方程、不等式都可以在函数观点下统一处理。 - [化归思想：把新问题变回旧问题](https://libremath.cn/idea/hua-gui-si-xiang)：化归思想是把陌生问题转化为已解决问题的总策略：不会解的方程化为会解的，难求的最值化为熟悉的模型，是数学解题的元方法。 - [换元思想：用一个字母替换一团式子](https://libremath.cn/idea/huan-yuan-si-xiang)：换元思想是把反复出现的复杂式子整体换成一个新字母，让结构显形、计算简化；解出后再换回去，是化繁为简的通用策略。 - [几何直观：用图形看清数量关系](https://libremath.cn/idea/ji-he-zhi-guan)：几何直观是借助图形描述与分析问题的能力：把抽象的数量关系画出来，让条件与结论一目了然。它把「看不清」的代数变成「看得见」的图形，是数形结合的直观基础。 - [极限思想：用无限逼近把握不可达](https://libremath.cn/idea/ji-xian-si-xiang)：极限思想是通过变量无限逼近某个值来研究函数或数列趋势的思想。它把「不可达」的瞬时速度、曲线长度、无穷和转化为「可逼近」的有限过程。 - [拉格朗日乘数法：约束下求最值的通法](https://libremath.cn/idea/la-ge-lang-ri-cheng-shu-fa)：拉格朗日乘数法通过引入乘数 $\lambda$，把「约束 $g=0$ 下求 $f$ 的最值」转化为方程组 $\nabla f=\lambda\nabla g$，是条件最值问题的通用解法。 - [模型思想：把现实问题翻译成数学结构](https://libremath.cn/idea/mo-xing-si-xiang)：模型思想是把现实情境抽象为数学结构（方程、函数、图形、概率）来研究的思想。抓住主要矛盾、忽略次要因素，让数学替现实说话。 - [配方法：把二次式凑成完全平方](https://libremath.cn/idea/pei-fang-fa)：配方法是把含二次项的式子恒等改写为完全平方与常数之差的技巧，利用平方非负性判断最值与符号，是解方程和证不等式的通用入口。 - [齐次化思想：把多元条件化成单一比值](https://libremath.cn/idea/qi-ci-hua-si-xiang)：齐次化思想是利用「各项次数相同」的结构，通过同除或换元把多元问题化为关于单一比值的一元问题。它把未知数个数「降」下来，是处理条件最值与齐次不等式的利器。 - [三角换元：让正弦余弦代管平方和](https://libremath.cn/idea/san-jiao-huan-yuan)：三角换元是在「平方和为定值」时，用 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 替换变量，把代数最值转化为三角函数振幅问题的技巧。 - [数形结合：代数与几何互译](https://libremath.cn/idea/shu-xing-jie-he)：数形结合是把代数式翻译成图形、把图形性质翻译成数量关系的双向思想。方程看成曲线、最值看成切线，难题常有直观解法。 - [统计思想：从数据中读出规律](https://libremath.cn/idea/tong-ji-si-xiang)：统计思想是从数据中提取信息、用样本推断总体、在随机中寻找规律的思想。它处理「不确定」而非「确定」，是数据时代的核心思维。 - [整体思想：盯住一团而不是单个字母](https://libremath.cn/idea/zheng-ti-si-xiang)：整体思想是把反复出现或成对出现的式子视为一个整体来处理的思想。盯住整体结构，跳过逐字展开的繁琐，让结构自己说话。 - [坐标旋转变换：转个角度看圆锥曲线](https://libremath.cn/idea/zuo-biao-xuan-zhuan-bian-huan)：坐标旋转变换是把坐标系绕原点旋转一个角度，用新坐标简化含 xy 交叉项的二次曲线方程。本质是「换角度看图形」，让斜着的圆锥曲线在新坐标系里「摆正」。 ## 数学模型 - [楼梯模型：平移横竖段巧求台阶周长](https://libremath.cn/model/lou-ti-moxing)：楼梯模型利用平移把台阶状折线的所有水平段拼成一条底边、所有竖直段拼成一条高，得出阶梯形周长等于其外接长方形周长的结论；是平移法求周长最典型的应用。 - [等高模型（分田模型）：共高三角形面积比等于底之比](https://libremath.cn/model/deng-gao-moxing)：等高模型给出共用同一条高（或同一顶点）的两个三角形，面积比等于对应底边之比的结论；因形似从同一块田里按底分田得名，是面积比、线段比互化的核心模型。 - [等积变形模型：顶点滑动面积不变](https://libremath.cn/model/deng-ji-bian-xing)：等积变形模型研究底不变、顶点沿与底平行的直线滑动时三角形面积不变的规律：同底等高的三角形面积相等，是三角形面积转化最基础的手法，俗称「拉窗帘」。 - [割补法求面积：剪下一块平移过去](https://libremath.cn/model/ge-bu-fa)：割补法求面积是把不规则图形沿高剪下一块，平移到另一侧拼成规则图形（长方形或平行四边形）的方法：割前割后总面积不变，是推导平行四边形、三角形、梯形面积公式的共同思路。 - [格点面积模型（皮克定理）：数点就算面积](https://libremath.cn/model/ge-dian-moxing)：格点面积模型给出顶点都在格点上的多边形面积公式：面积等于内部格点数加边界格点数的一半减 1（皮克定理）。只需数点即可求面积，是格点图、点阵图求面积的通法。 - [蝴蝶模型（风筝模型）：交叉对角线两侧等积](https://libremath.cn/model/hudie-moxing)：蝴蝶模型给出任意四边形被两条对角线分成四个小三角形后，相对两组小三角形面积乘积相等；若有一组对边平行，则两侧翅膀面积相等。图形形似蝴蝶，是小学奥数面积题的经典模型。 - [燕尾模型：共线分点把面积比传到两边](https://libremath.cn/model/yan-wei-moxing)：燕尾模型给出：在三角形 ABC 中，若 D 在 BC 上、P 在 AD 上，则左右两侧三角形 ABP 与 ACP 的面积比等于底边被分的两段之比 BD 比 DC。因辅助线形似燕尾得名，是面积比互相转化的经典模型。 - [一半模型：矩形里顶边三角形占一半](https://libremath.cn/model/yi-ban-moxing)：一半模型给出矩形、平行四边形中，顶点在一边上、底边在对边上的三角形面积恒为整个图形面积一半的结论；是面积等分、阴影面积题中出镜率最高的小学几何模型。 - [花瓣四圆模型：四圆过心围成的花瓣面积](https://libremath.cn/model/hua-ban-si-yuan)：花瓣四圆模型研究四个半径相同的等圆围成的花瓣阴影面积：四圆的圆心分居正方形四边中点、都经过正方形中心，每片花瓣由两个四分之一圆叠出，花瓣总面积等于两个圆面积减一个正方形面积。 - [外方内圆模型：正方形内切圆面积比](https://libremath.cn/model/wai-fang-nei-yuan)：外方内圆模型研究正方形内最大内切圆与正方形的边长、周长、面积关系：圆的直径等于正方形边长，面积比为 π 比 4，四个边角面积和为正方形减圆的面积。 - [铅笔模型：平行线间拐点的角度关系](https://libremath.cn/model/qian-bi-moxing)：铅笔模型是两条平行线之间夹一个拐点的折线结构，过拐点作平行线即可把三个角集中起来：笔尖角等于笔尖同侧两个尾角之和，是平行线求角的基本功模型。 - [猪蹄模型：平行线间同向拐点](https://libremath.cn/model/zhu-ti-moxing)：猪蹄模型研究两条平行线之间的同向拐点折线：拐点朝同一侧开口时，中间角等于两端角之和，过拐点作平行线用内错角一分为二即可证明。 - [8字模型：对顶三角形的角度与相似](https://libremath.cn/model/ba-zi-moxing)：8字模型由共顶点的对顶角连接两对端点构成，形如数字 8。一般情形给出两组角之和相等，上下两边平行时升级为相似三角形，对应边成比例。 - [婆罗摩笈多模型：共顶点双直角出全等](https://libremath.cn/model/boluomojiduo-moxing)：婆罗摩笈多模型指两个直角三角形共直角顶点且两组边分别相等，一个三角形可看作另一个绕顶点旋转90°，从而对应对角线相等且互相垂直。 - [飞镖模型：凹四边形的角度关系](https://libremath.cn/model/feibiao-moxing)：飞镖模型刻画凹四边形的角度结构：凹点处的优角等于其余三个内角之和，即∠BPC=∠BAC+∠ABP+∠ACP，延长 AP 用两次外角定理即可证明。 - [将军饮马模型：轴对称求最短路径](https://libremath.cn/model/jiangjun-yinma)：将军饮马模型研究定直线同侧两定点到线上动点的折线长度和最小问题，核心手法是作对称点把折线拉直，最小值就是对称点与另一定点间的线段长。 - [角平分线四大模型：一平分四法宝](https://libremath.cn/model/jiao-pingfenxian-si-da)：角平分线四大模型汇总角平分线的四种标准用法：向两边作垂线得等距、沿平分线翻折截等段出全等、平分线遇平行出等腰、分对边成比例，一张图看清何时用哪招。 - [脚拉脚模型：共顶点等腰出全等](https://libremath.cn/model/jiaolajiao-moxing)：脚拉脚模型指两个等腰三角形共用顶点且顶角相等，交叉连接两组底角端点（脚拉脚）后由SAS得全等，对应连线相等，夹角等于顶角。 - [截长补短模型：线段和差的全等转化](https://libremath.cn/model/jie-chang-duan-duan-moxing)：截长补短模型处理求证一条线段等于另两条线段之和差的题目：在长线段上截取等段（截长）或把短线段延长补齐（补短），把和差关系化为相等关系再证全等。 - [锯齿模型：平行线间多拐点折线的长度转化](https://libremath.cn/model/ju-chi-moxing)：锯齿模型研究两条平行线之间的多拐点折线：所有水平段长度和等于折线两端点间的水平距离，所有竖直段长度和（各段同向、不折返时）等于两平行线间距离；是平移法求折线长度的推广。 - [平行四边形模型：性质与判定的双向应用](https://libremath.cn/model/ping-xing-si-bian-xing-moxing)：平行四边形模型整合性质与判定：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定有五种方法，是四边形问题的基础框架。 - [十字架模型：正方形内垂直即相等](https://libremath.cn/model/shizi-jia-moxing)：十字架模型刻画正方形内两组对边上各取一点连成的两条线段：只要互相垂直，就必然相等，反之亦然，本质是△ABE≌△BCF的旋转全等。 - [双角平分线模型：两线交点的夹角公式](https://libremath.cn/model/shuang-jiao-pingfen)：双角平分线模型给出三角形两个内角的平分线夹角公式：两角平分线交于一点，该角等于 90° 加上第三个角的一半；一内一外、两外平分线也各有固定公式，只需内角和即可秒算。 - [双中点模型：中位线的判定与用法](https://libremath.cn/model/shuang-zhong-dian)：双中点模型指三角形两边中点的连线即中位线：它平行于第三边且等于第三边的一半，既能正用求长度，也能逆用造平行，是中点条件转化的第一选择。 - [梯子模型：滑动中的定长斜边](https://libremath.cn/model/tizi-moxing)：梯子模型研究定长线段两端在两条互相垂直的直线（墙与地面）上滑动的问题：由直角三角形斜边中线定理，梯子中点到墙角的距离恒为梯长的一半，故中点的轨迹是一段以墙角为圆心的圆弧。 - [赵爽弦图模型：以形证数证勾股](https://libremath.cn/model/xian-tu-moxing)：赵爽弦图是在大正方形四边上截取等长线段、内接一个小正方形的图形：四个角上是全等的直角三角形，中间是正方形，用面积拼合即可证明勾股定理，并衍生出一系列边长与面积计算模型。 - [中点四边形模型：顺次连接四边中点](https://libremath.cn/model/zhong-dian-si-bian-xing)：中点四边形模型研究顺次连接任意四边形四边中点所得的图形：它一定是平行四边形（瓦里尼翁定理），其形状由原四边形两条对角线的数量与位置关系决定——对角线相等则为菱形、垂直则为矩形。 - [中点四大模型：倍长中线与中位线](https://libremath.cn/model/zhong-dian-si-da-moxing)：中点四大模型是围绕线段中点的四类辅助线构造：倍长中线、中位线、斜边中线、中点四边形，分别把中点转化为全等、平行半长、等距与特殊四边形，是几何证明的常备工具箱。 - [阿氏圆模型：定比点圆与最值转化](https://libremath.cn/model/a-shi-yuan-moxing)：阿氏圆模型利用圆外定点关于圆的反演点，把圆上动点到定点的距离换成定比关系，从而将 PA 加 k 倍 PB 的最值问题转化为两点之间线段最短，是圆中最值的利器。 - [A字模型：平行线截出的相似三角形](https://libremath.cn/model/a-zi-moxing)：A字模型指三角形中一条边的平行线截出的小三角形与原三角形相似，对应边成比例，形如字母 A。它是相似三角形应用中最基础的图形，也是中位线定理的母体。 - [半角模型：正方形中的45°角](https://libremath.cn/model/ban-jiao-moxing)：半角模型指正方形内从顶点引出的 45° 角（直角的一半），两边分别交两邻边于 E、F，则 EF 恒等于 BE 与 DF 之和，证法是把一个三角形绕顶点旋转 90° 拼合。 - [倍角模型：二倍角拆出等腰三角形](https://libremath.cn/model/bei-jiao-mo-xing)：倍角模型处理一个三角形中「一个角是另一个角两倍」的问题：作倍角的角平分线把二倍角拆成两个等角，其中一个与小角配对得到等腰三角形，再配合相似三角形得到边长乘积关系。 - [垂径定理模型：直径垂直弦则平分弦](https://libremath.cn/model/chui-jing-ding-li-moxing)：垂径定理模型给出：直径垂直于弦，则直径平分这条弦；逆定理也成立。是圆中求弦长、圆心距、半径的核心工具。 - [对角互补模型：互补即共圆](https://libremath.cn/model/duijiao-hubu-moxing)：对角互补模型利用四边形对角和为180°等价于四点共圆：一旦共圆，同弧圆周角相等、外角等于内对角等工具全部解锁，是把四边形问题搬进圆里的钥匙。 - [反A字模型：对顶角下的平行相似](https://libremath.cn/model/fan-a-moxing)：反A字模型指小三角形的两边分别落在大三角形两边的反向延长线上且底边平行，借对顶角与内错角证得两三角形相似，比值沿共线边传递。 - [反8字模型：平行线夹出的蝴蝶相似](https://libremath.cn/model/fan-ba-moxing)：反8字模型指两条平行线段被两条交叉连线连接，交点处对顶角配合内错角立刻给出一对相似三角形，四段交叉线段成比例，是梯形对角线问题的骨架。 - [折叠模型：翻折前后的不变量](https://libremath.cn/model/fan-zhe-mo-xing)：折叠模型研究图形沿一条直线翻折的问题：翻折本质是轴对称变换，折痕是对称轴，翻折前后对应边相等、对应角相等、折痕垂直平分对应点连线；抓住这些不变量，再配合勾股定理或相似三角形列方程即可。 - [费马点模型：三角距离和最小](https://libremath.cn/model/fei-ma-dian-moxing)：费马点模型求三角形内到三顶点距离之和最小的点：三内角均小于 120° 时，该点对三边的张角均为 120°，可用旋转 60° 把三段折线拉直求解，是平面几何最值的经典模型。 - [瓜豆模型：主从联动的轨迹相似](https://libremath.cn/model/gua-dou-moxing)：瓜豆模型研究主动点沿确定轨迹运动时，从动点的轨迹问题：两动点与定点之间保持定角、定比（旋转加缩放），则从动点的轨迹与主动点的轨迹形状相同，长度成定比。 - [胡不归模型：加权路径最短问题](https://libremath.cn/model/hu-bu-gui-moxing)：胡不归模型求 PA 加 k 倍 PB（k 小于 1）的最小值，核心手法是构造正弦为 k 的角，把带系数的线段转化为垂线段，再用垂线段最短一锤定音，是折射定律的几何原型。 - [梅涅劳斯定理模型：三点共线的比例判定](https://libremath.cn/model/mei-nie-lao-si)：梅涅劳斯定理给出一条直线截三角形三边（或延长线）所得三点共线的充要条件：三边被分点分成的比例乘积等于 1，是判定三点共线的核心工具。 - [母子相似模型：直角三角形斜边高](https://libremath.cn/model/mu-zi-xiang-si)：母子相似模型指直角三角形斜边上的高把原三角形分成两个小三角形，三者两两相似如母子相依，由此推出射影定理三组乘积等式，是边长计算的快车道。 - [内心模型：角平分线交点与内切圆](https://libremath.cn/model/nei-xin-mo-xing)：内心模型研究三角形三条角平分线的交点：它是内切圆的圆心，到三边距离相等；用面积法可把内切圆半径与三边、面积联系起来，配合切线长定理处理切点分段问题。 - [鸟头模型（共角模型）：共角三角形面积比等于夹边乘积比](https://libremath.cn/model/niao-tou-moxing)：鸟头模型（共角定理）给出有一个角相等或互补的两个三角形，面积比等于夹这个角的两组对应边乘积之比；当截线平行于底边时退化为相似三角形，是面积比与线段比互化的常用模型。 - [切线长定理模型：圆外一点两切线相等](https://libremath.cn/model/qie-xian-chang-ding-li-moxing)：切线长定理模型给出：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；是圆外点与切线关系的核心结论。 - [切线判定定理模型：垂直半径则切线](https://libremath.cn/model/qie-xian-pan-ding-moxing)：切线判定定理模型给出：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；是判定直线与圆相切的核心方法。 - [塞瓦定理模型：三线共点的比例判定](https://libremath.cn/model/sai-wa-ding-li)：塞瓦定理给出三角形三条从顶点出发的线段共点的充要条件：三边被分点分成的比例乘积等于 1，是判定三线共点的核心工具。 - [三垂直模型：一线三直角出全等](https://libremath.cn/model/san-chui-zhi-moxing)：三垂直模型指同一直线上立起三个直角：两侧垂线加中间一个直角顶点，立刻推出两三角形相似；再加一组斜边相等即升级为全等，是坐标几何与全等证明的双料工具。 - [沙漏模型：梯形里的平行截割相似](https://libremath.cn/model/sha-lou-moxing)：沙漏模型研究三角形顶点被平行于底边的直线截割后，截线与底边、两腰构成的大小两个相似三角形：对应边成比例、截线比等于顶距比，是小学奥数与初中相似三角形的衔接模型。 - [手拉手模型：共顶点旋转出全等](https://libremath.cn/model/shou-la-shou)：手拉手模型指两个等边三角形（或等腰三角形）共顶点放置，连接两对拉手线必得一组旋转全等，拉手线等长且夹角等于旋转角，是旋转全等的标志性图形。 - [四点共圆模型：对角互补与圆周角相等](https://libremath.cn/model/si-dian-gong-yuan)：四点共圆模型给出判定四点共圆的两条核心路径：对角互补或同侧圆周角相等；在解题中用于转化角关系、构造辅助圆、求轨迹。 - [托勒密定理模型：圆内接四边形对角线乘积](https://libremath.cn/model/tuo-le-mi)：托勒密定理给出圆内接四边形对角线乘积等于两组对边乘积之和：$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$，是圆内接四边形边长与对角线关系的核心。 - [外心模型：中垂线交点与外接圆](https://libremath.cn/model/wai-xin-mo-xing)：外心模型研究三角形三边垂直平分线的交点：它是外接圆的圆心，到三个顶点距离相等；外心的位置随三角形类型移动（锐角在内、直角在斜边中点、钝角在外），并把圆周角与圆心角关系引入三角形问题。 - [弦切角模型：切线与弦的夹角等于圆周角](https://libremath.cn/model/xian-qie-jiao)：弦切角模型给出切线与弦的夹角等于所夹弧上的圆周角：弦切角 = 圆周角，是切线问题中角转化的核心工具。 - [旋转相似模型：共点三角形的拉手线](https://libremath.cn/model/xuan-zhuan-xiang-si)：旋转相似模型研究共顶点的两个相似三角形：大三角形由小三角形绕公共顶点旋转并放大得到，对应顶点连线（拉手线）本身也构成一对相似三角形，且拉手线之比等于相似比、夹角等于共点顶角。 - [一线三等角模型（K型）：同线等角出相似](https://libremath.cn/model/yi-xian-san-deng-jiao)：一线三等角模型指三个相等的角的顶点落在同一直线上，两侧各连出一个三角形，必然相似；直角特例称一线三垂直或 K 型，是全等与相似证明的高频工具。 - [隐圆模型：看不见的辅助圆](https://libremath.cn/model/yin-yuan-moxing)：隐圆模型处理题面中没有圆、但动点满足「到定点距离定长」或「对定线段张定角」等条件的问题：把隐藏的圆补画出来，动点就被锁定在圆上，再用圆周角、点与圆的位置关系求路径与最值。 - [圆幂定理模型：相交弦、切割线与割线](https://libremath.cn/model/yuan-mi-ding-li-moxing)：圆幂定理模型统一给出点与圆的位置关系中的线段乘积：相交弦、切割线、割线三种情形，线段乘积为定值（幂），是圆中线段计算的核心。 - [圆周角定理模型：同弧圆周角相等](https://libremath.cn/model/yuan-zhou-jiao-ding-li-moxing)：圆周角定理模型给出：同弧或等弧上的圆周角相等，且等于同弧所对圆心角的一半；是圆中角关系转化的核心工具。 - [阿基米德折弦定理模型：折弦中点与垂足](https://libremath.cn/model/zhe-xian-ding-li)：阿基米德折弦定理给出：折弦所对弧（含折点的弧）的中点，向折弦中较长的一段弦作垂线，垂足把折弦总长平分（长段远端部分等于短弦加长段近端部分）；是圆中折线段和差的经典结论。 - [最大张角模型：米勒定理与切线定位](https://libremath.cn/model/zui-da-zhang-jiao-moxing)：最大张角模型解决两定点在定直线同侧时，动点在直线上何处对两定点张角最大的问题：过两定点作与直线相切的圆，切点就是张角最大的位置（米勒定理）。 - [条件最值模型：带着约束求最大最小](https://libremath.cn/model/tiao-jian-zui-zhi)：条件最值模型研究变量满足某个等量关系时目标式的最大最小值，解法从小学放缩到拉格朗日乘数法层层升级，是一题多解的典型载体。 ## 生活应用 - [抽奖与游戏：转盘、盲盒里的可能性大小](https://libremath.cn/application/chou-jiang-gai-lv)：转盘哪格大、抽中机会就大；盲盒「隐藏款 1/144」就是概率。用可能性大小判断游戏是否公平、抽奖值不值得，是每个学生都该懂的生活数学。 - [装修测量：铺地砖、刷墙漆里的面积账](https://libremath.cn/application/zhuang-xiu-mian-ji)：装修前要算准面积：铺地砖用房间面积 ÷ 单砖面积估块数，刷墙漆用墙面总面积减门窗。面积计算错了，不是浪费就是不够，是最实用的几何应用。 - [存款利息：本金、利率与时间里的百分数](https://libremath.cn/application/cun-kuan-li-xi)：存款利息 = 本金 × 年利率 × 存期（年），是百分数在生活中最典型的应用；理解「年利率按年计」与「本息合计」两词，全部储蓄题都能套出。 - [购物折扣与满减：折扣、成数在超市里的真账](https://libremath.cn/application/gou-wu-zhe-kou)：打八折就是按原价的 80% 付款，「每满 100 减 20」是分段折扣。用折扣与百分数算出真实到手价，一眼识破「先涨后降」的促销套路。 - [行程与工程问题：用一元一次方程解决相遇追及](https://libremath.cn/application/xing-cheng-gong-cheng)：相遇与追及、合作做工，本质都是「路程 = 速度 × 时间」或「工作量 = 效率 × 时间」。设未知数、找等量关系列一元一次方程，一步解出。 - [方案选择：用一次函数比较哪种购买方式更划算](https://libremath.cn/application/fang-an-xuan-ze)：两种以上收费方案比较优劣，标准做法是各列一个一次函数，求出交点（临界值），再看实际用量落在交点哪一侧。交点两侧结论相反，这是方案选择题的全部套路。 - [分段计费：水电气、出租车与阶梯价里的分段函数](https://libremath.cn/application/fen-duan-ji-fei)：分段计费是把用量按区间切开、各段不同单价的收费方式，如出租车起步价＋里程价、阶梯水价。它的数学骨架是分段函数：不同区间对应不同解析式。 - [手机套餐与打车：用一次函数读懂分段收费](https://libremath.cn/application/shou-ji-tao-can)：手机套餐「月租 + 超量计费」、打车「起步价 + 里程价」，都是一次函数或分段一次函数。画出图象，用量多少选哪档一目了然。 - [体育比赛与选举：平均数、中位数背后的统计陷阱](https://libremath.cn/application/tong-ji-xian-jing)：平均数会被极端值带偏：去掉最高最低分再平均、用中位数代表收入水平，都是统计在生活中的智慧。看懂它，才不会被「平均」忽悠。 - [测量楼高与河宽：勾股定理与相似三角形的实景应用](https://libremath.cn/application/ce-liang-lou-gao)：不用爬楼也能测楼高：利用影子与相似三角形，或拉一根斜绳用勾股定理。古人测金字塔、今人测河宽，靠的都是同一条几何原理。 - [导航与运动：向量如何描述方向与速度的合成](https://libremath.cn/application/dao-hang-yun-dong)：船过江要斜着开、飞机要修正风偏、导航算「向东北 3 公里」，都是向量合成：把方向与大小合成一个量，平行四边形定则一画就清楚。 - [贷款与复利：指数函数如何决定你的月供](https://libremath.cn/application/dai-kuan-fu-li)：贷款月供、存款复利、信用卡分期，背后都是指数增长：本金按利率逐期「利滚利」。懂指数函数，才能算清借钱与存钱的真实成本。 - [生产优化与最省材料：导数如何找到最优方案](https://libremath.cn/application/sheng-chan-you-hua)：用固定材料做容积最大的盒子、定价多少利润最高、怎样用料最省：这些「求最优」的问题，用导数找到函数取极值的点，一步算出最佳方案。 - [资源分配最优化：有限的条件办最多的事](https://libremath.cn/application/zi-yuan-fen-pei-zui-you-hua)：资源分配最优化是在预算、时间、材料有限的约束下安排方案使收益最大，其数学骨架正是条件最值模型，与强基题同宗同源。 ## 概念辨析 - [长方形的概念与特征](https://libremath.cn/def/chang-fang-xing)：长方形是对边平行且相等、四个角都是直角的四边形；长边叫长，短边叫宽，中学阶段称为矩形。 - [一年级数学易错清单](https://libremath.cn/def/yi-nian-ji-yi-cuo-qing-dan)：一年级最容易错的是五个地方：几和第几不分、大于小于号开口方向搞反、凑十法只背口诀不懂道理、进位加忘加进位的 1、退位减忘减退走的 1。 - [整数加法](https://libremath.cn/def/zheng-shu-jia-fa)：整数加法是把两个数合并成一个数的运算，竖式按个位对齐逐位相加，满十进一。 - [除法的初步认识](https://libremath.cn/def/chu-fa-de-chu-bu-ren-shi)：除法是已知两个数的积与其中一个因数求另一个因数的运算，也是把一些东西平均分成若干份的工具，记作 $a\div b$。 - [二年级数学易错清单](https://libremath.cn/def/er-nian-ji-yi-cuo-qing-dan)：二年级最容易错的几个地方：米厘米进率混用、分不清除法的两种含义、余数忘了比除数小、万以内数中间有 0 的读写；另附 2024 版已移到三上《线和角》的「角的大小」辨析。 - [长方形面积](https://libremath.cn/def/chang-fang-xing-mian-ji)：长方形面积等于长乘宽 $S=a\times b$，正方形面积等于边长乘边长 $S=a\times a$，源于用面积单位铺满图形。 - [乘法的估算](https://libremath.cn/def/cheng-fa-de-gu-suan)：乘法估算是把乘数看成近似的整十整百数再相乘，快速得出结果的近似值，常用于检验和决策。 - [等量代换](https://libremath.cn/def/deng-liang-dai-huan)：等量代换是指如果 $a=b$，$b=c$，那么 $a=c$，用等量替换另一等量来简化解题。 - [分数的初步认识](https://libremath.cn/def/fen-shu-de-chu-bu-ren-shi)：把一个整体平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数，记作 $\frac{m}{n}$，$n$ 是分母，$m$ 是分子。 - [两位数乘两位数](https://libremath.cn/def/liang-wei-shu-cheng-liang-wei-shu)：两位数乘两位数的笔算方法：用第二个乘数的个位和十位分别去乘第一个数，积的末位与对应数位对齐，再相加。 - [三年级数学易错清单](https://libremath.cn/def/san-nian-ji-yi-cuo-qing-dan)：三年级最容易错的是五个地方：时分秒进率混用、搞不清谁是谁的几倍、周长和面积直接比大小、分数忘了必须平均分、闰年判断记错百年规则。 - [整数乘法](https://libremath.cn/def/zheng-shu-cheng-fa)：整数乘法是求几个相同加数和的简便运算，记作 $a\times b$，竖式按位值对齐逐位相乘并处理进位。 - [乘法运算定律：交换律、结合律与分配律](https://libremath.cn/def/cheng-fa-yun-suan-ding-lv)：乘法有交换律（a×b=b×a）、结合律（(a×b)×c=a×(b×c)）与分配律（(a+b)×c=a×c+b×c）。分配律连接乘法与加法，是简算与代数运算最重要的定律。 - [大数的读法与写法](https://libremath.cn/def/da-shu-de-du-fa)：读大数要先分级（从右往左每四位一级），从最高级读起；每级末尾的 0 都不读，其他位置的 0 不管连续几个都只读一个零。 - [加法运算定律：交换律与结合律](https://libremath.cn/def/jia-fa-yun-suan-ding-lv)：加法交换律是交换加数位置和不变（a+b=b+a），结合律是改变相加顺序和不变（(a+b)+c=a+(b+c)）。两者是凑整简算与验算的理论依据。 - [假设法解题策略](https://libremath.cn/def/jia-she-fa)：假设法是先对未知量做出假设，再根据矛盾反推正确答案的解题策略，常用于鸡兔同笼等问题。 - [角的度量](https://libremath.cn/def/jiao-de-du-liang)：角的大小由两边张开的程度决定，与边的长短无关；用量角器量角要做到「中心对顶点、零线对一边」，并看清读内圈还是外圈。 - [三角形的三边关系与内角和](https://libremath.cn/def/san-jiao-xing-de-san-bian-guan-xi-yu-nei-jiao-he)：三角形任意两边之和大于第三边，判断能否围成三角形只需检验较短两边之和是否大于最长边；三角形的内角和是 180°，与三角形的大小、形状都无关。 - [三角形的特性：稳定性与三边关系](https://libremath.cn/def/san-jiao-xing-de-te-xing)：三角形由三条线段首尾相接围成，具有稳定性，任意两边之和大于第三边。稳定性让它广泛用于建筑结构，三边关系则决定了能否围成三角形。 - [三位数乘两位数：拆成两次乘再相加](https://libremath.cn/def/san-wei-shu-cheng-liang-wei-shu)：三位数乘两位数是把乘数拆成整十与一位，分两次乘三位数再把积相加。竖式对位与进位是计算准确的关键，是整数乘法向更大数的自然延伸。 - [四则运算](https://libremath.cn/def/si-ze-yun-suan)：加法、减法、乘法、除法统称四则运算；混合运算按「先乘除后加减，有括号先算括号」的顺序进行。 - [梯形的概念与分类](https://libremath.cn/def/ti-xing)：梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫底（上底和下底），不平行的两边叫腰。 - [小数的大小比较](https://libremath.cn/def/xiao-shu-de-da-xiao-bi-jiao)：比较两个小数的大小：先比整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同再依次比十分位、百分位。 - [小数的加法和减法](https://libremath.cn/def/xiao-shu-de-jia-fa-he-jian-fa)：小数加减法法则：小数点对齐，按整数加减法算，结果的小数点与上面的小数点对齐。 - [小数的性质：末尾添 0 去 0，大小不变](https://libremath.cn/def/xiao-shu-de-xing-zhi)：小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变（如 0.5=0.50）。这是小数化简、改写与大小比较的依据，但中间的 0 不能随意去掉。 - [小数的意义：十分之几、百分之几的另一种写法](https://libremath.cn/def/xiao-shu-de-yi-yi)：小数是分母为 10、100、1000 的分数的另一种记法：一位小数表示十分之几，两位表示百分之几。小数点把整数部分与小数部分分开，是十进制计数法的延伸。 - [小数点移动引起小数大小的变化](https://libremath.cn/def/xiao-shu-dian-yi-dong)：小数点向右移动一位、两位、三位，原数就扩大到它的 10 倍、100 倍、1000 倍；向左移动则缩小到原来的 $\frac{1}{10}$、$\frac{1}{100}$、$\frac{1}{1000}$。位数不够要补 0。 - [小数的意义和性质](https://libremath.cn/def/xiao-shu)：把整数「1」平均分成10份、100份……表示这样一份或几份的数叫小数；小数末尾添上或去掉0，小数大小不变（小数的基本性质）。 - [运算定律的区分与简便计算](https://libremath.cn/def/yun-suan-ding-lv)：交换律换位置、结合律换运算顺序、分配律把乘法分配到加减法上；只有乘法分配律跨越了乘与加减两级运算，也是最容易用错的一个。 - [不规则图形的面积估算方法](https://libremath.cn/def/bu-gui-ze-tu-xing-de-mian-ji)：不规则图形无法用公式直接计算，可通过数方格法或转化成规则图形来估算面积，结果取近似值。 - [用排水法求不规则物体的体积](https://libremath.cn/def/bu-gui-ze-wu-ti-de-ti-ji)：不规则物体的体积用排水法测量：物体浸没在水中，上升那部分水的体积就是物体的体积，$V=S\times h_{上升}$。 - [长方体的表面积、体积和棱长总和](https://libremath.cn/def/chang-fang-ti-de-biao-mian-ji-yu-ti-ji)：棱长总和是 $4(a+b+h)$，表面积是 $2(ab+ah+bh)$，体积是 $abh$；三个公式量纲不同，实际问题要先判断求的是哪一个。 - [单式折线统计图](https://libremath.cn/def/dan-shi-zhe-xian-tong-ji-tu)：折线统计图用点表示数据、用线段顺次连接各点，不仅能看出数量多少，还能清楚反映数量的增减变化趋势。 - [方程的解和解方程](https://libremath.cn/def/fang-cheng-de-jie-yu-jie-fang-cheng)：含有未知数的等式叫方程；使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，求方程的解的过程叫解方程。解方程的依据是等式的基本性质。 - [分数和小数的互化](https://libremath.cn/def/fen-shu-he-xiao-shu-de-hu-hua)：分数化小数用分子除以分母；小数化分数看位数，一位小数写成分母 10、两位写成分母 100，再约成最简分数。 - [分数加减混合运算](https://libremath.cn/def/fen-shu-jia-jian-hun-he-yun-suan)：分数加减混合运算的顺序与整数相同：从左往右算，有括号先算括号里面的；可以一次通分，也可以分步计算。 - [分数的意义和性质](https://libremath.cn/def/fen-shu)：把单位「1」平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫分数；分数的分子分母同乘或同除以相同的非零数，分数大小不变（基本性质）。 - [封闭图形的植树问题](https://libremath.cn/def/feng-bi-tu-xing-zhi-shu)：在封闭图形（圆、正方形等）上栽树，棵数等于间隔数：棵数 $=$ 间隔数 $=$ 总长 $\div$ 间隔长。 - [复式折线统计图](https://libremath.cn/def/fu-shi-zhe-xian-tong-ji-tu)：复式折线统计图用两条（或多条）不同的折线表示两组（或多组）数据，便于比较它们的变化趋势；画图必须用图例区分。 - [根据三视图还原几何体](https://libremath.cn/def/gen-ju-san-shi-tu-huan-yuan-ji-he-ti)：根据三视图还原几何体，要由俯视图确定底面轮廓，由主视图和左视图确定各位置高度，必要时进行多解讨论。 - [根据视图摆几何体的方法](https://libremath.cn/def/gen-ju-shi-tu-bai-ji-he-ti)：根据三视图摆几何体时，先由俯视图确定占地位置，再由主视图和左视图确定各位置的层数，最后检验是否满足所有视图。 - [公因数与公倍数](https://libremath.cn/def/gong-yin-shu-yu-gong-bei-shu)：几个数公有的因数叫公因数，其中最大的叫最大公因数；公有的倍数叫公倍数，其中最小的叫最小公倍数。约分用最大公因数，通分用最小公倍数。 - [观察物体：从不同方向看立体图形](https://libremath.cn/def/guan-cha-wu-ti)：从前面、上面、左面三个方向观察立体图形，看到的平面图形可能不同；把三个方向看到的图形画下来，就是三视图。 - [积的近似数与四舍五入法](https://libremath.cn/def/ji-de-jin-si-shu)：实际应用中积的小数位数往往太多，用四舍五入法按需要保留一定的小数位数，看保留位数的下一位决定舍或入，结果用约等号连接。 - [奇偶性的意义与判断方法](https://libremath.cn/def/ji-ou-xing)：能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数；奇偶性与 2 的倍数特征一致，看个位就能判断。 - [可能性的大小与数量多少的关系](https://libremath.cn/def/ke-neng-xing-de-da-xiao)：随机事件发生的可能性有大有小：在总数中占的数量越多，被摸到的可能性就越大；反过来，多次试验中摸到次数多的，说明它占的数量可能多。 - [可能性与确定事件、随机事件](https://libremath.cn/def/ke-neng-xing)：事件分两类：结果事先能确定的叫确定事件（一定发生或不可能发生），结果事先不能确定的叫随机事件（可能发生），用「一定」「不可能」「可能」描述。 - [两端不栽的植树问题](https://libremath.cn/def/liang-duan-bu-zai)：两端不栽时，棵数比间隔数少 1：棵数 $=$ 间隔数 $-1$；间隔数 $=$ 总长 $\div$ 间隔长。 - [两端都栽的植树问题](https://libremath.cn/def/liang-duan-du-zai)：两端都栽时，棵数比间隔数多 1：棵数 $=$ 间隔数 $+1$；间隔数 $=$ 总长 $\div$ 间隔长。 - [平行四边形的面积公式与推导](https://libremath.cn/def/ping-xing-si-bian-xing-de-mian-ji)：平行四边形的面积等于底乘高，即 $S=ah$；沿高剪下一个直角三角形平移到另一侧，可拼成长方形，从而由长方形面积推出。 - [平移和旋转的应用](https://libremath.cn/def/ping-yi-he-xuan-zhuan-de-ying-yong)：用平移和旋转可以把分散的图形拼成规则图形，解决拼图、求面积等问题；关键是确定每次运动的方向、距离或角度。 - [容积的意义与容积单位](https://libremath.cn/def/rong-ji-he-rong-ji-dan-wei)：容积是容器所能容纳物体的体积；常用单位是升和毫升，$1\ \text{L}=1000\ \text{mL}$，$1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3$，$1\ \text{mL}=1\ \text{cm}^3$。 - [三角形的面积公式与推导](https://libremath.cn/def/san-jiao-xing-de-mian-ji)：三角形的面积等于底乘高除以 2，即 $S=ah\div2$；两个完全一样的三角形可拼成平行四边形，三角形面积是它的一半。 - [商的近似数与四舍五入法](https://libremath.cn/def/shang-de-jin-si-shu)：小数除法的商常除不尽或位数太多，用四舍五入法保留一定的小数位数，只需除到比保留位数多一位，再舍入；结果用约等号连接。 - [实际问题与方程的解题步骤](https://libremath.cn/def/shi-ji-wen-ti-yu-fang-cheng)：列方程解决实际问题分五步：审题找未知数、设未知数、找等量关系列方程、解方程、检验并作答；关键是把等量关系翻译成含未知数的等式。 - [体积单位间的进率与换算](https://libremath.cn/def/ti-ji-dan-wei-jian-de-jin-lv)：相邻体积单位间的进率是 1000：$1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3$，$1\ \text{m}^3=1000\ \text{dm}^3$；高级化低级乘 1000，低级聚高级除以 1000。 - [体积的意义与常用体积单位](https://libremath.cn/def/ti-ji-he-ti-ji-dan-wei)：体积是物体所占空间的大小；常用体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别对应棱长 1 cm、1 dm、1 m 的正方体。 - [梯形的面积公式与推导](https://libremath.cn/def/ti-xing-de-mian-ji)：梯形的面积等于上底加下底的和乘高除以 2，即 $S=(a+b)h\div2$；两个完全一样的梯形可拼成平行四边形。 - [同分母分数加减法](https://libremath.cn/def/tong-fen-mu-fen-shu-jia-jian-fa)：同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减；计算结果能约分的要约成最简分数。 - [通分的方法](https://libremath.cn/def/tong-fen)：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数叫通分；一般用各分母的最小公倍数作公分母。 - [统计图的选择](https://libremath.cn/def/tong-ji-tu-de-xuan-ze)：选统计图看目的：比较数量多少用条形图，看增减变化用折线图；要同时比较几组数据的变化，用复式折线图。 - [小数乘法和除法的小数点](https://libremath.cn/def/xiao-shu-cheng-chu-fa)：小数乘法先按整数乘、再看两个因数一共有几位小数就点几位；小数除法先把除数变成整数，被除数小数点跟着移，商的小数点与被除数对齐。 - [小数乘小数的算理与计算方法](https://libremath.cn/def/xiao-shu-cheng-xiao-shu)：小数乘小数表示求一个数的十分之几、百分之几是多少；先按整数乘法算出积，再看两个因数一共有几位小数，从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够用 0 补足。 - [小数乘整数的意义与计算方法](https://libremath.cn/def/xiao-shu-cheng-zheng-shu)：小数乘整数表示几个相同小数相加的和，先按整数乘法算出积，再看因数中有几位小数，从积的右边起数出几位点上小数点。 - [小数除以整数的算理与计算方法](https://libremath.cn/def/xiao-shu-chu-yi-zheng-shu)：小数除以整数按整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除到被除数末尾仍有余数，添 0 继续除；整数部分不够除，商 0 占位。 - [欣赏与设计：用图形运动创作图案](https://libremath.cn/def/xin-shang-yu-she-ji)：许多美丽图案是由一个基本图形经过平移、旋转或轴对称反复变换得到的；设计图案时先选基本图形，再确定变换方式。 - [旋转的意义与三要素](https://libremath.cn/def/xuan-zhuan)：旋转是图形绕一个点按一定方向转动一定角度的运动；旋转中心、旋转方向、旋转角度是旋转的三要素。 - [循环小数和有限小数](https://libremath.cn/def/xun-huan-xiao-shu)：小数部分的位数有限的是有限小数，无限重复出现的是循环小数；循环节是依次不断重复出现的数字，可以在首位和末位上面点圆点表示。 - [异分母分数加减法](https://libremath.cn/def/yi-fen-mu-fen-shu-jia-jian-fa)：异分母分数相加减要先通分，化成分母相同的分数再按同分母法则计算，最后约成最简分数。分子分母分别相加是最典型的错法。 - [一个数除以小数的算理与计算方法](https://libremath.cn/def/yi-ge-shu-chu-yi-xiao-shu)：除数是小数的除法，利用商不变的性质把除数转化成整数：除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位，位数不够用 0 补足，再按小数除以整数计算。 - [因数和倍数以及 2、3、5 的倍数特征](https://libremath.cn/def/yin-shu-yu-bei-shu)：如果 $a\times b=c$（均为非零自然数），那么 $a$、$b$ 是 $c$ 的因数，$c$ 是 $a$、$b$ 的倍数；因数与倍数相互依存。2 的倍数看个位，5 的倍数看个位，3 的倍数要看各位数字之和。 - [用计算器探索小数运算的规律](https://libremath.cn/def/yong-ji-suan-qi-tan-suo-gui-lv)：用计算器算出一组有规律的算式，观察商中循环节等数字规律，再利用规律直接写出其余算式的结果，最后用计算器验证。 - [用数对表示位置的方法](https://libremath.cn/def/yong-shu-dui-biao-shi-wei-zhi)：用数对表示位置时，先写列数、再写行数，中间用逗号隔开并加括号，如 $(3,2)$ 表示第 3 列第 2 行。 - [用字母表示数的意义与书写规则](https://libremath.cn/def/yong-zi-mu-biao-shi-shu)：用字母可以表示未知的数、运算定律、计算公式和数量关系；数字与字母相乘省略乘号且数字在前，1 与字母相乘时 1 省略，相同字母相乘写成平方。 - [优化策略：找次品中的最优思想](https://libremath.cn/def/you-hua-ce-lve)：优化策略是在多种方案中选出最好的；找次品中「平均分 3 份」就是最优策略，它保证用最少的称量次数找到次品。 - [约分的方法](https://libremath.cn/def/yue-fen)：把一个分数化成和它相等、但分子分母都较小的分数叫约分；分子分母只有公因数 1 的分数叫最简分数，约分要约到最简。 - [在方格纸上用数对确定位置](https://libremath.cn/def/zai-fang-ge-zhi-shang-yong-shu-dui-que-ding-wei-zhi)：方格纸上竖线编号为列、横线编号为行，数对 $(a,b)$ 对应第 $a$ 条竖线与第 $b$ 条横线的交点，可据数对找点、据点写数对。 - [找次品问题](https://libremath.cn/def/zhao-ci-pin)：找次品是用天平从若干物品中找出较重或较轻的次品；基本策略是把物品平均分成 3 份，每次称两份，逐步缩小范围。 - [真分数、假分数和带分数](https://libremath.cn/def/zhen-fen-shu-he-jia-fen-shu)：分子比分母小的分数叫真分数（小于 1），分子大于或等于分母的分数叫假分数（大于或等于 1）；假分数可以化成整数或带分数。 - [整数乘法运算定律推广到小数](https://libremath.cn/def/zheng-shu-cheng-fa-yun-suan-ding-lv-tui-guang-dao-xiao-shu)：乘法交换律、结合律、分配律对小数乘法同样适用，观察数据特点合理运用定律凑整，可以使小数乘法计算更简便。 - [整数加法运算定律推广到分数](https://libremath.cn/def/zheng-shu-jia-fa-yun-suan-ding-lv-tui-guang-dao-fen-shu)：整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用，利用它们可以凑同分母、凑整，使分数加法计算简便。 - [植树问题的基本模型](https://libremath.cn/def/zhi-shu-wen-ti)：植树问题研究总长、间隔长与棵数的关系：间隔数 $=$ 总长 $\div$ 间隔长；棵数由间隔数加减 1 或不变得到，取决于栽法。 - [质数和合数](https://libremath.cn/def/zhi-shu-yu-he-shu)：只有 1 和它本身两个因数的数叫质数（素数），有三个或三个以上因数的数叫合数；1 既不是质数也不是合数。 - [掷一掷与两枚骰子的点数和规律](https://libremath.cn/def/zhi-yi-zhi)：同时掷两枚骰子，点数和有 2-12 共 11 种；和为 5、6、7、8、9 的组合有 24 种，和为 2、3、4、10、11、12 的只有 12 种，中间和的可能性明显更大。 - [组合图形的面积计算方法](https://libremath.cn/def/zu-he-tu-xing-de-mian-ji)：组合图形是由几个简单图形拼成的图形，求面积时把它分割成学过的基本图形，分别计算再求和或求差。 - [按比分配问题](https://libremath.cn/def/an-bi-fen-pei)：按比分配是把一个总量按一定的比分成几部分；方法是先求总份数，再求每份的量，最后按份数求各部分。 - [百分数、小数和分数的互化](https://libremath.cn/def/bai-fen-shu-de-hu-hua)：小数化百分数把小数点右移两位加百分号，百分数化小数则左移两位；分数先化成小数再化百分数，除不尽时通常百分号前保留一位小数（即小数保留三位）。 - [百分数的意义和它与分数的区别](https://libremath.cn/def/bai-fen-shu-de-yi-yi)：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，只表倍比关系、不能带单位；分数既可以表倍比关系，也可以带单位表示具体数量。 - [半径和直径的关系](https://libremath.cn/def/ban-jing-yu-zhi-jing)：在同一个圆（或相等的圆）里，直径是半径的 2 倍、半径是直径的一半；离开「同圆或等圆」这个前提，这个结论不成立。 - [半圆和扇形的周长与面积](https://libremath.cn/def/ban-yuan-yu-shan-xing)：半圆周长是圆周长的一半再加一条直径，半圆面积是圆面积的一半；扇形的弧长与面积都按圆心角占 360° 的比例计算，扇形周长还要加两条半径。 - [比和比例](https://libremath.cn/def/bi-he-bi-li)：两个数相除又叫两个数的比；表示两个比相等的式子叫比例；比例的内项之积等于外项之积（基本性质）。 - [比例尺的认识和应用](https://libremath.cn/def/bi-li-chi)：比例尺是图上距离与实际距离之比，即 图上距离 $\div$ 实际距离；计算前必须统一单位，图上常用厘米、实际常用千米。 - [比与除法、分数的关系](https://libremath.cn/def/bi-yu-chu-fa-fen-shu-de-guan-xi)：比的前项相当于被除数、后项相当于除数，所以 $a:b=a\div b=\frac{a}{b}$（$b\ne0$）；但比表示关系、除法是运算、分数是数，三者不能画等号。 - [出勤率、发芽率等常见百分率](https://libremath.cn/def/chang-jian-bai-fen-lv)：常见百分率都是「部分量除以总量再乘 100%」，其中出勤率、发芽率、合格率等表示部分占总量的比例，最大只能是 100%。 - [倒数的认识](https://libremath.cn/def/dao-shu)：乘积是 1 的两个数互为倒数。求倒数就是把分子分母调换位置；1 的倒数是 1，0 没有倒数。 - [分数乘整数和分数乘分数](https://libremath.cn/def/fen-shu-cheng-fa-de-suan-li)：分数乘整数是求几个相同分数的和，分数乘分数是求这个数的几分之几是多少；算法都是分子乘分子、分母乘分母，但两者的意义不同。 - [分数除法为什么要乘倒数](https://libremath.cn/def/fen-shu-chu-fa-de-suan-li)：除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数，依据是商不变的规律：把除数变成 1，被除数就必须同时乘同一个数。 - [分数混合运算](https://libremath.cn/def/fen-shu-hun-he-yun-suan)：分数混合运算的顺序与整数相同：先乘除后加减，有括号先算括号里的；整数乘法的运算定律对分数同样适用。 - [用分数乘法解决问题](https://libremath.cn/def/fen-shu-ying-yong-ti)：求一个数的几分之几是多少，用乘法；关键是找准单位「1」，用单位「1」的量乘对应的分率。 - [负数的认识和大小比较](https://libremath.cn/def/fu-shu-de-ren-shi)：正数和负数表示相反意义的量；0 既不是正数也不是负数，是分界点。数轴上左边的数总比右边的小，所以两个负数中绝对值大的反而小。 - [鸽巢问题与抽屉原理](https://libremath.cn/def/ge-chao-wen-ti)：鸽巢原理：把多于 m 个物体放进 m 个抽屉，至少有一个抽屉不少于 2 个；一般情况用带余除法，有余数则商加 1；带「保证」的问题用最不利原则。 - [描述路线图的方法](https://libremath.cn/def/miao-shu-lu-xian-tu)：描述路线图要分段说明：每段从哪出发、沿什么方向、走多远到哪儿；绘制时则按描述逐段画图，注意每段换观测点。 - [平面图形的面积公式](https://libremath.cn/def/ping-mian-tu-xing-mian-ji)：长方形 $S=ab$、正方形 $S=a^2$、三角形 $S=\frac{1}{2}ah$、平行四边形 $S=ah$、梯形 $S=\frac{1}{2}(a+b)h$、圆 $S=\pi r^2$；公式间可通过割补法互相推导。 - [求一个数的几分之几和已知几分之几求原数](https://libremath.cn/def/qiu-yi-ge-shu-de-ji-fen-zhi-ji)：单位「1」已知时用乘法求它的几分之几；单位「1」未知、已知它的几分之几是多少时用除法。判断的关键是看单位「1」给没给出。 - [商与被除数的大小关系](https://libremath.cn/def/shang-yu-bei-chu-shu-de-da-xiao-guan-xi)：除数大于 1 时商小于被除数，除数等于 1 时商等于被除数，除数大于 0 且小于 1 时商大于被除数。判断只看除数。 - [图形的放大与缩小](https://libremath.cn/def/tu-xing-de-fang-da-yu-suo-xiao)：按 $n:1$ 放大就是把各边长度都乘 $n$，按 $1:n$ 缩小就是各边都除以 $n$；角度不变、形状不变，而面积按 $n^2$ 变化。 - [位置与方向：用方向和角度描述位置](https://libremath.cn/def/wei-zhi-yu-fang-xiang)：描述方向用「北偏东 30°」这样的方式：先选基准方向（北或南），再说偏多少度；方向结合距离才能确定位置。 - [用百分数解决问题](https://libremath.cn/def/yong-bai-fen-shu-jie-jue-wen-ti)：百分数应用题与分数应用题思路相同：求一个数的百分之几用乘法，已知百分之几求这个数用除法；关键是找准单位「1」。 - [用方向和距离确定位置](https://libremath.cn/def/yong-fang-xiang-he-ju-li-que-ding-wei-zhi)：确定位置需要三个条件：观测点、方向、距离；在平面图上先定方向（量角度），再按比例尺定距离（量图上长度）。 - [圆的周长和面积公式辨析](https://libremath.cn/def/yuan-de-zhou-chang-yu-mian-ji)：周长 $C=2\pi r$ 是绕圆一周的长度，面积 $S=\pi r^2$ 是圆面的大小，两者单位不同、变化规律也不同；半圆周长还要加一条直径。 - [圆柱的展开图、侧面积和表面积](https://libremath.cn/def/yuan-zhu-de-zhan-kai-tu-yu-biao-mian-ji)：圆柱侧面沿高剪开是长方形，长等于底面周长、宽等于高，所以侧面积 $=2\pi rh$；表面积是侧面积加两个底面积，实际问题中要按有几个面来算。 - [圆柱和圆锥的体积关系](https://libremath.cn/def/yuan-zhu-yu-yuan-zhui-de-ti-ji)：圆柱体积 $V=Sh=\pi r^2h$，圆锥体积 $V=\frac13Sh$；只有在等底等高时，圆锥才是圆柱的三分之一、圆柱才是圆锥的 3 倍。 - [增加了百分之几和增加到百分之几](https://libremath.cn/def/zeng-jia-le-bai-fen-zhi-ji)：「增加了百分之几」算的是增加的部分占原量的多少；「增加到百分之几」算的是现量是原量的百分之几。两者正好相差一个原量本身。 - [折扣、成数、税率和利率](https://libremath.cn/def/zhe-kou-cheng-shu-shui-lv-li-lv)：几折就是原价的十分之几（八折即 $80\%$），几成就是十分之几（三成即 $30\%$）；利息等于本金乘利率再乘存期，取回的钱是本金加利息。 - [正比例和反比例的判断](https://libremath.cn/def/zheng-bi-li-vs-fan-bi-li)：正比例看商是否一定（$y\div x=k$），反比例看积是否一定（$x\times y=k$）。判断的关键是先找出那个不变的量。 - [不等式及其解集与性质](https://libremath.cn/def/bu-deng-shi-ji-qi-xing-zhi)：用不等号表示大小关系的式子叫不等式，所有解组成解集；不等式两边加减不变向，乘除正数不变向、乘除负数必须改变不等号方向。 - [一元一次不等式组的实际应用](https://libremath.cn/def/bu-deng-shi-zu-de-ying-yong)：当方案受多个上下限同时约束（不空不满、载重限制、预算与数量）时列一元一次不等式组，先求整数解确定可行方案，再从中比较选最省或最优。 - [一元一次不等式组](https://libremath.cn/def/bu-deng-shi-zu)：由若干个含同一未知数的一元一次不等式组成的不等式组叫一元一次不等式组；解集为各不等式解集的交集，口诀「同大取大、同小取小、大小取中、矛盾无解」。 - [代数式的概念与求值](https://libremath.cn/def/dai-shu-shi)：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或字母也是代数式；用数值代替字母算出的结果叫代数式的值。 - [二元一次方程组的应用](https://libremath.cn/def/er-yuan-yi-ci-fang-cheng-zu-de-ying-yong)：当问题含两个独立未知量和两个等量关系时列二元一次方程组：先设两元，再从总量关系与比较关系各列一式，典型模型有鸡兔同笼、增收节支、行程分段。 - [二元一次方程组](https://libremath.cn/def/er-yuan-yi-ci-fang-cheng-zu)：由两个二元一次方程组成；标准形 $\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$，用代入或加减消元法求解。 - [几何图形与立体图形的展开图](https://libremath.cn/def/ji-he-tu-xing-yu-zhan-kai-tu)：几何图形分立体图形与平面图形，由点线面体构成；把立体表面沿棱剪开铺平得到展开图，正方体有 11 种展开图，可借此求表面最短路径。 - [角的概念与度分秒](https://libremath.cn/def/jiao-de-gai-nian-yu-du-fen-miao)：有公共端点的两条射线组成角，也可看作射线绕端点旋转而成；角度制下 1 周角 360°、1°=60′、1′=60″，角的和差按六十进制换算。 - [立方根的概念与性质](https://libremath.cn/def/li-fang-gen)：若 x^3=a 则 x 是 a 的立方根，记作 ∛a；正数有一个正立方根，负数有负立方根，0 的立方根是 0。 - [命题、定理与证明](https://libremath.cn/def/ming-ti-ding-li-yu-zheng-ming)：判断一件事的语句叫命题，由题设和结论组成，分真命题假命题；经过推理证实的真命题叫定理，证实的过程叫证明，推翻假命题只需一个反例。 - [平面直角坐标系](https://libremath.cn/def/ping-mian-zhi-jiao-zuo-biao-xi)：在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴构成平面直角坐标系；点与有序数对 $(x,y)$ 一一对应。 - [平行线的概念与平行公理](https://libremath.cn/def/ping-xing-xian)：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，平行于同一直线的两条直线互相平行。 - [平方根和算术平方根的区别](https://libremath.cn/def/pingfanggen-vs-suanshupingfanggen)：一个正数有两个平方根（互为相反数），算术平方根只取非负的那一个；0 的平方根与算术平方根都是 0。 - [同位角、内错角与同旁内角](https://libremath.cn/def/san-xian-ba-jiao)：两条直线被第三条直线所截形成八个角，按位置分为同位角（F 型）、内错角（Z 型）、同旁内角（U 型），是平行线判定与性质的研究对象。 - [三元一次方程组](https://libremath.cn/def/san-yuan-yi-ci-fang-cheng-zu)：共含三个未知数且各项次数都是 1 的整式方程组；解法核心是连续消元两次，三元化二元、二元化一元，消元时认准同一未知数一消到底。 - [实数与无理数](https://libremath.cn/def/shi-shu)：有理数和无理数统称实数；无理数是无限不循环小数（如 √2、π）；实数与数轴上的点一一对应。 - [数据的收集与整理](https://libremath.cn/def/shu-ju-de-shou-ji-yu-zheng-li)：通过全面调查或抽样调查收集数据，再分类、编码、列表、画图整理成条形图、扇形图、直方图等便于分析。 - [数轴与有理数的大小比较](https://libremath.cn/def/shu-zhou)：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线；数轴上右边的点表示的数总比左边的大，正数大于 0，0 大于负数，两个负数绝对值大的反而小。 - [线段的中点与和差倍分](https://libremath.cn/def/xian-duan-de-zhong-dian)：把线段分成相等两条线段的点叫中点，满足 AM=MB=AB 的一半；推广到 n 等分点。线段的和差倍分用几何语言配合等式计算。 - [相反数与绝对值](https://libremath.cn/def/xiang-fan-shu)：只有符号不同的两数互为相反数；|a| 表示数轴上 a 到原点的距离；0 的相反数和绝对值都是 0。 - [相交线与垂线](https://libremath.cn/def/xiang-jiao-xian)：两条直线相交形成邻补角与对顶角；垂直是夹角 90° 的特殊相交，过一点有且只有一条垂线，垂线段最短，点到直线的距离是垂线段的长度。 - [一元一次方程解销售配套与积分问题](https://libremath.cn/def/xiao-shou-li-run-yu-pei-tao-ji-fen-wen-ti)：销售问题核心是利润等于售价减成本、售价等于标价乘折扣；配套问题抓两套部件数量的固定倍数关系；积分问题用胜平负场数与得分规则列方程。 - [一元一次方程解行程与工程问题](https://libremath.cn/def/xing-cheng-gong-cheng-wen-ti)：行程问题抓住路程等于速度乘时间，相遇找路程和、追及找路程差；工程问题把总工作量看作 1，工作量等于效率乘时间，各部分工作量之和等于 1。 - [一元一次不等式](https://libremath.cn/def/yi-yuan-yi-ci-bu-deng-shi)：含一个未知数且次数为 1 的不等式叫一元一次不等式；性质：两边同乘负数要变号；解法五步：去分母、去括号、移项、合并、系数化为 1。 - [一元一次方程](https://libremath.cn/def/yi-yuan-yi-ci-fang-cheng)：只含一个未知数且次数为 1 的整式方程叫一元一次方程；标准形式 ax+b=0(a≠0)，一般解法分五步，每步都有等式性质作依据。 - [有理数的乘法与除法](https://libremath.cn/def/you-li-shu-de-cheng-chu-fa)：两数相乘（除），同号得正、异号得负，并把绝对值相乘（除）；除以一个不为 0 的数等于乘它的倒数；0 不能作除数。 - [有理数的乘方、科学记数法与近似数](https://libremath.cn/def/you-li-shu-de-cheng-fang)：求 n 个相同因数积的运算叫乘方，结果叫幂；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；大于 10 的数可用科学记数法 a×10^n（1≤a<10）表示；近似数按四舍五入确定精确度。 - [有理数的加法与减法](https://libremath.cn/def/you-li-shu-de-jia-jian-fa)：同号两数相加取相同的符号并把绝对值相加，异号两数相加取绝对值较大加数的符号并用大绝对值减小绝对值；减去一个数等于加上这个数的相反数。 - [有理数的概念与分类](https://libremath.cn/def/you-li-shu)：整数和分数统称有理数；按符号分为正有理数、零和负有理数三类，零既不是正数也不是负数。 - [余角和补角](https://libremath.cn/def/yu-jiao-he-bu-jiao)：两角和为 90° 则互为余角，和为 180° 则互为补角；同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等；互余互补只看数量，与位置无关。 - [整式的加减（合并同类项与去括号）](https://libremath.cn/def/zheng-shi-de-jia-jian)：整式加减的本质是合并同类项：字母与相同字母指数都相同的项，系数相加减、字母部分不变；去括号看括号前符号，负号要逐项变号。 - [整式：单项式与多项式](https://libremath.cn/def/zheng-shi)：数或字母的积组成的式子叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式与多项式统称整式；单项式的次数是所有字母指数的和，多项式的次数是次数最高项的次数。 - [直线与线段的基本事实](https://libremath.cn/def/zhi-xian-yu-xian-duan-de-ji-ben-shi-shi)：两条基本事实：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）；两点之间线段最短。两点间距离就是连接两点的线段长度。 - [变量：变化过程中的常量与变量](https://libremath.cn/def/bian-liang)：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量；主动取值的变量叫自变量，随之变化的变量叫因变量。变量是函数的预备概念。 - [尺规作图](https://libremath.cn/def/chi-gui-zuo-tu)：只用无刻度直尺和圆规作图，五种基本作图是作线段、作角、作角平分线、作垂直平分线、过点作已知直线垂线，依据都是全等判定。 - [二次根式](https://libremath.cn/def/er-ci-gen-shi)：形如 √a(a≥0) 的式子叫二次根式；性质 (√a)²=a、√(a²)=|a|；乘除满足 √a·√b=√ab(a,b≥0)。 - [方差（数据的波动程度）](https://libremath.cn/def/fang-cha)：方差 $s^2=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2$ 度量数据相对平均数的波动大小，恒为非负数；数据越整齐方差越小，全部相等时为零。比较两组数据稳定性时使用。 - [分式方程的应用](https://libremath.cn/def/fen-shi-fang-cheng-de-ying-yong)：当等量关系中含速度、效率、单价等「比值量」时列出分式方程，解完必须双重检验：既检验是否为增根，又检验结果是否符合实际意义。 - [分式方程](https://libremath.cn/def/fen-shi-fang-cheng)：分母中含未知数的方程叫分式方程；解法为去分母化为整式方程后求解，**必须验根**：把解代入最简公分母，等于 0 者为增根舍去。 - [分式的运算](https://libremath.cn/def/fen-shi-yunsuan)：分式乘法 $\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}$、除法变乘除式的倒数；同分母加减合并分子，异分母先通分后加减；结果须化为最简分式或整式。 - [分式的概念与基本性质](https://libremath.cn/def/fen-shi)：形如 A/B（A、B 为整式且 B 中含字母）的式子叫分式；B≠0 时有意义，B≠0 且 A=0 时值为 0；基本性质 A/B=(A·M)/(B·M)（M≠0）。 - [函数的图象：把对应关系画在坐标系里](https://libremath.cn/def/han-shu-de-tu-xiang)：把函数 $y=f(x)$ 中每一组对应值 $(x,y)$ 描成坐标平面上的点，所有这样的点组成的图形叫函数的图象。画图用描点法：列表、描点、连线。 - [函数：唯一确定的对应关系](https://libremath.cn/def/han-shu)：在一个变化过程中，两个变量 $x$ 与 $y$，若 $x$ 每取一个值，$y$ 都有唯一确定的值与之对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数。判定关键只有两个字：唯一。 - [平均数（算术平均数与加权平均数）](https://libremath.cn/def/ping-jun-shu)：平均数 $\bar x=\frac1n(x_1+\cdots+x_n)$ 反映数据的集中趋势；加权平均数 $\bar x=\frac{w_1x_1+\cdots+w_kx_k}{w_1+\cdots+w_k}$ 按重要程度给各数据不同权重。 - [平面图形的镶嵌](https://libremath.cn/def/ping-mian-tu-xing-de-xiang-qian)：用形状大小相同的一种或几种平面图形拼接，无缝隙不重叠地铺满平面；同一种正多边形能镶嵌的关键是拼点处角度和恰为 360°。 - [平行四边形](https://libremath.cn/def/ping-xing-si-bian-xing)：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；性质有对边相等、对角相等、对角线互相平分；判定有五条。 - [全等三角形](https://libremath.cn/def/quan-deng-san-jiao-xing)：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；常用 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种方法判定。 - [三角形的高、中线与角平分线](https://libremath.cn/def/san-jiao-xing-de-gao-zhong-xian-yu-jiao-ping-fen-xian)：三角形的高是顶点到对边所在直线的垂线段，中线是顶点与对边中点的连线段，角平分线是顶点到对边的角平分线段，三条中线交于重心、三条角平分线交于内心。 - [三角形的稳定性](https://libremath.cn/def/san-jiao-xing-de-wen-ding-xing)：三边长度确定后三角形形状大小唯一（SSS），这就是稳定性；四边形边长确定后形状仍可改变，生产中据此选择结构。 - [四边形及其内角和](https://libremath.cn/def/si-bian-xing-ji-nei-jiao-he)：四边形由四条线段首尾顺次相接围成，两条对角线把它分成两个三角形；内角和与外角和都是 360°，四边形不具有稳定性。 - [一次函数的实际应用](https://libremath.cn/def/yi-ci-han-shu-de-ying-yong)：两个量成均匀变化时建立 y=kx+b 模型；方案比较写两个一次函数比大小，分段计费按区间分别列式，调运问题用一次函数在端点取最优。 - [一次函数与方程、不等式](https://libremath.cn/def/yi-ci-han-shu-yu-fang-cheng-bu-deng-shi)：从函数观点看，解方程 kx+b=0 是求直线与 x 轴交点横坐标，kx+b 大于或小于 0 是看直线在 x 轴上、下方对应部分，方程组的解是两条直线的交点坐标。 - [一次函数](https://libremath.cn/def/yi-ci-han-shu)：y=kx+b（k≠0）叫一次函数；b=0 时为正比例函数 y=kx；图象是过 (0,b) 的直线，k>0 向上倾斜，k<0 向下倾斜。 - [因式分解](https://libremath.cn/def/yin-shi-fen-jie)：把多项式化成几个整式积的形式叫因式分解；常用方法有提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 - [整式的乘法](https://libremath.cn/def/zhengshi-chengfa)：整式乘法分三类——单项式乘单项式（系数相乘、同底数幂相乘）、单项式乘多项式（分配律）、多项式乘多项式（逐项相乘后合并）。 - [中位数与众数](https://libremath.cn/def/zhong-wei-shu-yu-zhong-shu)：中位数是数据按大小排序后处于中间位置的数（偶数个取中间两数平均），众数是出现次数最多的数；两者都不受极端值影响，与平均数各有分工。 - [点与圆的位置关系](https://libremath.cn/def/dian-yu-yuan-de-wei-zhi-guan-xi)：点 P 到圆心距离 d 与半径 r 比较：dr 点在圆外，是判断多点共圆与轨迹的基础。 - [二次函数与利润最大化问题](https://libremath.cn/def/er-ci-han-shu-yu-li-run-zui-da-hua)：每降价 1 元多卖若干件时，总利润是关于降价（或定价）的二次函数，配方或用顶点横坐标求最大利润及对应定价，并结合自变量范围核对顶点。 - [二次函数与抛物线形实际问题](https://libremath.cn/def/er-ci-han-shu-yu-pao-wu-xian-wen-ti)：拱桥、投篮、喷水池、隧道限高等轨迹或截面为抛物线的问题，先建立坐标系设 y=ax²+bx+c，用已知点定解析式，再把高度或宽度问题转化为函数值或方程求解。 - [二次函数与一元二次方程的关系](https://libremath.cn/def/er-ci-han-shu-yu-yi-yuan-er-ci-fang-cheng)：方程 ax²+bx+c=0 的根就是抛物线 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标；判别式大于 0 两个交点、等于 0 一个、小于 0 没有交点，并可用图象求方程近似根。 - [二次函数](https://libremath.cn/def/er-ci-han-shu)：$y=ax^2+bx+c(a\ne 0)$ 叫二次函数；图象是抛物线，$a$ 决定开口方向，顶点坐标 $(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac-b^2}{4a})$，对称轴 $x=-\frac{b}{2a}$。 - [反比例函数的实际应用](https://libremath.cn/def/fan-bi-li-han-shu-de-ying-yong)：两个量乘积为定值时建立 y=k/x 模型：行程中速度与时间、工程中效率与时间、物理中压力与受力面积、电压一定时电流与电阻，据此由一个量求另一个量。 - [反比例函数](https://libremath.cn/def/fan-bi-li-han-shu)：形如 y=k/x（k≠0）的函数叫反比例函数；图象是双曲线，k>0 在一三象限，k<0 在二四象限；图象关于原点对称。 - [反证法及其应用](https://libremath.cn/def/fan-zheng-fa)：先假设结论不成立，从反设出发推出与已知条件、定义、定理或自相矛盾的结果，从而断定反设错误、原结论成立。 - [概率的概念与计算](https://libremath.cn/def/gai-lv)：在大量重复试验中事件 A 发生的频率 m/n 稳定于某常数 p，称 p 为事件 A 的概率，记 P(A)=p，0≤P(A)≤1。 - [解直角三角形](https://libremath.cn/def/jie-zhi-jiao-san-jiao-xing)：由直角三角形的已知边角（除直角外至少含一边）求其余边角；依据两锐角互余、勾股定理和锐角三角函数，应用于测高测距。 - [锐角三角函数的增减性](https://libremath.cn/def/rui-jiao-san-jiao-han-shu-de-zeng-jian-xing)：锐角范围内正弦和正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小；同名函数比大小只需比较锐角大小，异名函数借助互余关系转化。 - [锐角三角函数](https://libremath.cn/def/rui-jiao-san-jiao-han-shu)：在直角三角形中，锐角 $A$ 的对边比斜边记 $\sin A$，邻边比斜边 $\cos A$，对边比邻边 $\tan A$，统称锐角三角函数。 - [投影与视图](https://libremath.cn/def/tou-ying-yu-shi-tu)：光线照射物体在平面上形成影子叫投影；平行光线形成平行投影、点光源形成中心投影；三视图从正面、上面、左面正投影得到。 - [相似多边形](https://libremath.cn/def/xiang-si-duo-bian-xing)：对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似，对应边之比叫相似比；相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 - [相似三角形的应用](https://libremath.cn/def/xiang-si-san-jiao-xing-de-ying-yong)：利用同一时刻物高与影长成比例、镜面反射或构造 A 字形相似，把不能直接测量的树高、河宽转化为可测线段的比例计算。 - [一元二次方程的应用](https://libremath.cn/def/yi-yuan-er-ci-fang-cheng-de-ying-yong)：典型模型有连续两轮变化的增长率 a(1±x)²=b、两轮传染 (1+x)²、互送互握的计数 n(n-1)/2 以及围栏面积问题，解后同样要按实际意义取舍根。 - [一元二次方程](https://libremath.cn/def/yi-yuan-er-ci-fang-cheng)：$ax^2+bx+c=0(a\ne 0)$ 叫一元二次方程；解法有直接开平方法、配方法、公式法 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$、因式分解法；判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 决定根的情况。 - [圆的概念与性质](https://libremath.cn/def/yuan)：平面上到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫圆；圆心确定位置，半径确定大小。弧、弦、圆心角、圆周角是圆中核心元素。 - [直线与圆的位置关系](https://libremath.cn/def/zhi-xian-yu-yuan-de-wei-zhi-guan-xi)：直线与圆有相离、相切、相交三种位置；由圆心到直线距离 d 与半径 r 的大小关系判定，相切时 d=r 是切线核心。 - [充分条件、必要条件与充要条件](https://libremath.cn/def/chong-yao-tiao-jian)：若 $p\Rightarrow q$，$p$ 是 $q$ 的充分条件、$q$ 是 $p$ 的必要条件；$p\Leftrightarrow q$ 则互为充要条件；量词 $\forall$、$\exists$。 - [对数函数](https://libremath.cn/def/dui-shu-han-shu)：对数函数 $y=\log_a x$（$a>0,a\ne 1$）与 $y=a^x$ 互为反函数；性质：$a>1$ 时单调递增、$00$（$a\ne 0$）的不等式叫一元二次不等式；解法借助于二次函数图象：$\Delta>0$ 取两根之外（开口向上时）、$\Delta=0$ 取全实数（除根）、$\Delta<0$ 取全实数。 - [用样本估计总体：以部分推断全体的统计方法](https://libremath.cn/def/yong-yang-ben-gu-ji-zong-ti)：用样本估计总体是用样本的数字特征（平均数、方差、频率分布）去估计总体相应特征的方法。样本越随机、量越大，估计越可靠，是统计推断的基本思想。 - [圆柱：旋转体、侧面积与体积](https://libremath.cn/def/yuan-zhu-gao-zhong)：圆柱是以矩形一边为轴旋转一周所得的旋转体，由两个全等的圆形底面和一个曲面侧面围成。侧面积 = 底面周长 × 高，体积 = 底面积 × 高，是研究圆锥、圆台的基准。 - [指数函数](https://libremath.cn/def/zhi-shu-han-shu)：指数函数 $y=a^x$（$a>0,a\ne 1$）：$a>1$ 时单调递增、$00$）；直线与圆相离、相切、相交三种位置关系。 - [圆锥曲线](https://libremath.cn/def/yuan-zhui-qu-xian)：圆锥曲线：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$、双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$、抛物线 $y^2=2px$；到焦点与准线距离比 = 离心率 $e$。 - [直线与方程](https://libremath.cn/def/zhi-xian-yu-fang-cheng)：直线的倾斜角 $\alpha$ 与斜率 $k=\tan\alpha$；方程形式：点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$、两点式、截距式、一般式 $Ax+By+C=0$；两直线位置关系由斜率与截距决定。 - [回归分析与独立性检验](https://libremath.cn/def/hui-gui-yu-du-li-xing-jian-yan)：回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，最小二乘估计 $\hat{b}$；独立性检验统计量 $\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$。 - [计数原理](https://libremath.cn/def/ji-shu-yuan-li)：分类加法与分步乘法计数原理；排列 $A_n^m$ 与组合 $C_n^m$ 公式及性质；二项式定理 $(a+b)^n=\sum C_n^k a^{n-k}b^k$ 与通项。 - [离散型随机变量的数学期望](https://libremath.cn/def/shu-xue-qi-wang)：数学期望 $E(X)=\sum x_i p_i$ 是随机变量取值以概率为权重的加权平均，反映长期重复试验下的平均结果；具有线性性质 $E(aX+b)=aE(X)+b$。 - [离散型随机变量及其分布列](https://libremath.cn/def/sui-ji-bian-liang)：随机变量是把随机试验结果数量化的变量；离散型随机变量的分布列列出全部取值及对应概率，满足 $p_i\ge0$、$\sum p_i=1$，是计算期望与方差的基础。 - [条件概率与二项分布](https://libremath.cn/def/tiao-jian-gai-lv-yu-er-xiang-fen-bu)：条件概率 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$；二项分布 $X\sim B(n,p)$，$P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$，$E(X)=np$、$D(X)=np(1-p)$。 - [正态分布](https://libremath.cn/def/zheng-tai-fen-bu)：正态分布是一种连续型概率分布，其概率密度曲线为钟形曲线，关于均值 μ 对称，σ 越小曲线越高瘦。 ## 定理推导 - [垂线段最短](https://libremath.cn/theorem/chui-xian-duan-zui-duan)：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；点到直线的距离就是这条垂线段的长度，是切线性质的证明依据。 - [对顶角相等](https://libremath.cn/theorem/dui-ding-jiao-xiang-deng)：两条直线相交所成的两个对顶角大小相等，证明利用同角的补角相等；对顶角必成对出现且有公共顶点、两边互为反向延长线。 - [平行线的判定与性质](https://libremath.cn/theorem/ping-xing-xian-pan-ding-yu-xing-zhi)：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补可判定两直线平行；反过来平行线给出相同角关系，判定与性质因果方向相反。 - [平移的性质](https://libremath.cn/theorem/ping-yi-de-xing-zhi)：平移把图形沿固定方向移动固定距离；对应点连线平行（或共线）且相等，图形形状大小不变，对应线段平行且相等。 - [余角和补角的性质](https://libremath.cn/theorem/yu-jiao-he-bu-jiao-de-xing-zhi)：和为 90° 的两角互余、和为 180° 的两角互补；同角（或等角）的余角相等、补角相等，是推导角相等的基础工具。 - [线段垂直平分线的性质](https://libremath.cn/theorem/chui-zhi-ping-fen-xian)：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；反之到两端点距离相等的点在这条垂直平分线上。 - [等腰三角形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/deng-yao-san-jiao-xing)：等腰三角形两底角相等（等边对等角），顶角平分线、底边中线、底边高三线合一；反之等角对等边。 - [等腰梯形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/deng-yao-ti-xing)：等腰梯形同一底上的两个角相等、对角线相等；判定用「同一底上两角相等」或「对角线相等」，中位线等于两底和的一半。 - [多边形内角和定理](https://libremath.cn/theorem/duo-bian-xing-nei-jiao-he)：n 边形内角和为 (n-2)×180°，任意多边形外角和恒为 360°；证明是把多边形分割成三角形。 - [勾股定理](https://libremath.cn/theorem/gou-gu-ding-li)：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a²+b²=c²；逆定理：若三边满足 a²+b²=c² 则为直角三角形。 - [角平分线的性质](https://libremath.cn/theorem/jiao-ping-fen-xian)：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之到角两边距离相等的点在角平分线上，注意是「距离」不是线段长。 - [矩形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/ju-xing-xing-zhi-yu-pan-ding)：矩形是有一个直角的平行四边形；四角都是直角，对角线相等；判定有三法，是证明线段相等的重要工具。 - [菱形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/ling-xing-xing-zhi-yu-pan-ding)：菱形是有一组邻边相等的平行四边形；四边相等，对角线互相垂直且平分每组对角，面积=对角线乘积一半。 - [平行四边形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/ping-xing-si-bian-xing-xing-zhi-yu-pan-ding)：平行四边形对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；判定有五法，核心是用对角线构造全等。 - [全等三角形的判定](https://libremath.cn/theorem/quan-deng-san-jiao-xing-pan-ding)：全等三角形五大判定：SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形 HL；SSA 和 AAA 不能判定全等，是中考最高频易错点。 - [三角形内角和定理](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-xing-nei-jiao-he)：三角形三个内角的和等于 180°；任一外角等于与它不相邻的两个内角之和。证明用平行线转化。 - [三角形三边关系](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-xing-san-bian-guan-xi)：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形的依据。 - [三角形中位线定理](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-xing-zhong-wei-xian)：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；证明用倍长中线构造平行四边形或全等。 - [三角形重心定理](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-xing-zhong-xin)：三角形三条中线交于一点（重心），重心到顶点距离是到对边中点距离的 2 倍，即分中线为 2:1。 - [含30°角的直角三角形](https://libremath.cn/theorem/san-shi-du-jiao-zhi-jiao-san-jiao-xing)：直角三角形中 30° 锐角所对的直角边等于斜边的一半；证明用轴对称补成等边三角形，三边比为 1:√3:2。 - [正方形的性质与判定](https://libremath.cn/theorem/zheng-fang-xing-xing-zhi-yu-pan-ding)：正方形既是矩形又是菱形；四边相等、四角直角、对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 - [直角三角形斜边中线定理](https://libremath.cn/theorem/zhi-jiao-san-jiao-xing-xie-bian-zhong-xian)：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；逆定理：一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形。 - [轴对称的性质](https://libremath.cn/theorem/zhou-dui-chen-de-xing-zhi)：关于某直线对称的两个图形全等；对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段或延长线的交点在对称轴上。 - [垂径定理](https://libremath.cn/theorem/chui-jing-ding-li)：垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧；本质是圆的轴对称性，常用勾股定理计算弦长。 - [黄金分割](https://libremath.cn/theorem/huang-jin-fen-ge)：点 C 把线段 AB 分成 AC、CB，若 AC/AB=CB/AC，则称黄金分割；比值 (√5-1)/2≈0.618，由一元二次方程解出。 - [角平分线定理](https://libremath.cn/theorem/jiao-ping-fen-xian-ding-li)：三角形内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例：BD/DC=AB/AC；证明用平行线构造等腰三角形。 - [平行线等分线段定理](https://libremath.cn/theorem/ping-xing-xian-deng-fen-xian-duan)：一组平行线在一条直线上截得相等线段，则在其他直线上截得的线段也相等；三角形中过一边中点平行于另一边的直线平分第三边。 - [平行线分线段成比例定理](https://libremath.cn/theorem/ping-xing-xian-fen-xian-duan-cheng-bi-li)：两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例；三角形中平行于一边的直线截另两边，所得对应线段成比例（A 字型/8 字型）。 - [切线长定理](https://libremath.cn/theorem/qie-xian-chang-ding-li)：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分两切线的夹角；用 HL 全等证明。 - [切线的判定与性质](https://libremath.cn/theorem/qie-xian-pan-ding-yu-xing-zhi)：切线垂直于过切点的半径（性质）；过半径外端且垂直于半径的直线是切线（判定），判定核心 d=r。 - [确定圆的条件](https://libremath.cn/theorem/que-ding-yuan-de-tiao-jian)：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆；圆心是三边垂直平分线的交点（外心），共线三点不能定圆。 - [三角形内切圆](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-xing-nei-qie-yuan)：与三角形三边都相切的圆叫内切圆，圆心（内心）是三条角平分线交点；切线长为半周长减对边，面积 S=pr。 - [射影定理](https://libremath.cn/theorem/she-ying-ding-li)：直角三角形斜边上的高分斜边为两段，则每直角边的平方等于其在斜边上的射影乘斜边，高的平方等于两射影之积。 - [四点共圆的判定](https://libremath.cn/theorem/si-dian-gong-yuan-de-pan-ding)：四点共圆的三个判定：对角互补或外角等于内对角的四边形内接于圆；两点对同线段张角相等（同侧）或互补（异侧）则四点共圆。 - [韦达定理的推导与适用条件](https://libremath.cn/theorem/wei-da-dingli)：一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）有实根时，两根之和为 -b/a，两根之积为 c/a；使用前必须先验证判别式 Δ≥0。 - [位似图形的性质](https://libremath.cn/theorem/wei-si-tu-xing-de-xing-zhi)：位似是特殊的相似：对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边互相平行；位似图形上对应点到位似中心距离之比等于位似比。 - [弦切角定理](https://libremath.cn/theorem/xian-qie-jiao-ding-li)：顶点在圆上、一边是弦一边是切线的角叫弦切角；弦切角等于它所夹弧所对的圆周角，是圆幂定理证明的关键。 - [相似三角形的性质](https://libremath.cn/theorem/xiang-si-san-jiao-xing-de-xing-zhi)：相似三角形对应线段比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；面积比开平方才是边长比。 - [相似三角形的判定](https://libremath.cn/theorem/xiang-si-san-jiao-xing)：两三角形相似的判定：两角分别相等（AA）、两边对应成比例且夹角相等（SAS）、三边对应成比例（SSS）；相似比等于对应线段之比。 - [旋转的性质](https://libremath.cn/theorem/xuan-zhuan-de-xing-zhi)：旋转由旋转中心、方向、角度三要素确定；对应点到中心距离相等，对应点与中心连线夹角等于旋转角，旋转前后图形全等。 - [圆幂定理](https://libremath.cn/theorem/yuan-mi-ding-li)：相交弦 PA·PB=PC·PD；切割线 PT²=PA·PB；割线 PA·PB=PC·PD。三者统一为点对圆的幂 d²-r²。 - [圆内接四边形的性质](https://libremath.cn/theorem/yuan-nei-jie-si-bian-xing)：圆内接四边形的对角互补，任一外角等于它的内对角；反之对角互补的四边形内接于圆（四点共圆判定）。 - [圆心角、弧、弦的关系](https://libremath.cn/theorem/yuan-xin-jiao-hu-xian)：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦三组量中任一组相等，其余两组也分别相等；大圆心角对大弧大弦。 - [圆与圆的位置关系](https://libremath.cn/theorem/yuan-yu-yuan-de-wei-zhi-guan-xi)：两圆有外离、外切、相交、内切、内含五种位置；由圆心距 d 与两半径 R、r 的和差关系判定，相切时有公共对称轴过圆心。 - [圆周角定理](https://libremath.cn/theorem/yuan-zhou-jiao)：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直径（或半圆）所对的圆周角是直角；圆内接四边形对角互补。 - [正多边形与圆](https://libremath.cn/theorem/zheng-duo-bian-xing-yu-yuan)：正 n 边形有外接圆和内切圆（同心圆）；中心角 = 360°/n，边长 a=2R·sin(180°/n)，边心距 r=R·cos(180°/n)。 - [直角三角形相似的判定](https://libremath.cn/theorem/zhi-jiao-san-jiao-xing-xiang-si-pan-ding)：直角三角形除 AA/SAS/SSS 相似外，斜边和一条直角边对应成比例即可判定相似（对应全等中的 HL），是射影定理的基础。 - [中心对称的性质](https://libremath.cn/theorem/zhong-xin-dui-chen-de-xing-zhi)：绕对称中心旋转 180° 重合的两个图形成中心对称；对应点连线经过对称中心且被平分，对应线段平行（或共线）且相等。 - [柯西不等式](https://libremath.cn/theorem/ke-xi-bu-deng-shi)：柯西不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$，等号当两组成比例时取得；向量形态 $|\vec a\cdot\vec b|\le|\vec a||\vec b|$，是条件最值利器。 - [三角不等式（向量与复数的模）](https://libremath.cn/theorem/san-jiao-bu-deng-shi)：向量与复数的三角不等式 $\lvert\vec a+\vec b\rvert\le\lvert\vec a\rvert+\lvert\vec b\rvert$，等号当两向量同向时取得；反向情形给出差模的下界，是复数模长问题的核心工具。 - [余弦定理](https://libremath.cn/theorem/yu-xian-ding-li)：余弦定理：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，勾股定理是其直角特例；推论 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ 可由三边求角，用于 SAS、SSS 解三角形。 - [正弦定理](https://libremath.cn/theorem/zheng-xian-ding-li)：正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，建立三角形三边与对角正弦、外接圆半径的关系；用于知两角一边、两边一对角解三角形。 - [权方和不等式](https://libremath.cn/theorem/quan-fang-he-bu-deng-shi)：权方和不等式 $\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{(x+y)^2}{m+n}$ 是柯西的分式形态，等号当 $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$ 时取得；分式求和最值一步到位。 ## 公式速查 - [长方形与正方形的面积公式](https://libremath.cn/formula/chang-fang-xing-yu-zheng-fang-xing-mian-ji-gong-shi)：长方形面积 S=ab，正方形面积 S=a²；面积是平面图形所占平面的大小，单位为平方厘米、平方米等。 - [长方形与正方形的周长公式](https://libremath.cn/formula/chang-fang-xing-yu-zheng-fang-xing-zhou-chang-gong-shi)：长方形周长 C=2(a+b)，正方形周长 C=4a；周长是封闭图形一周的长度，计算时先认清各条边再相加。 - [平行四边形面积公式](https://libremath.cn/formula/ping-xing-si-bian-xing-mian-ji-gong-shi)：平行四边形面积 S=ah，其中 a 为底、h 为这条底对应的高；通过割补转化为长方形推导。 - [圆的周长与面积公式](https://libremath.cn/formula/yuan-de-zhou-chang-yu-mian-ji-gong-shi)：圆周长 C=2πr=πd，圆面积 S=πr²；π是周长与直径的比值，约为 3.14。 - [多边形的面积公式](https://libremath.cn/formula/duo-bian-xing-mian-ji-gong-shi)：以矩形面积为源，割补平移得平行四边形 S=ah，倍拼得三角形 S=ah/2，再倍拼得梯形 S=(a+b)h/2，构成可互相推导的面积公式链。 - [方差与标准差公式](https://libremath.cn/formula/fang-cha-yu-biao-zhun-cha-gong-shi)：方差 s²=Σ(xi-x̄)²/n，标准差 s=√s²；方差衡量数据波动大小，值越大波动越剧烈。 - [海伦-秦九韶公式](https://libremath.cn/formula/hai-lun-qin-jiu-shao-gong-shi)：已知三角形三边 a、b、c，半周长 p=(a+b+c)/2，则面积 S 等于根号下 p(p-a)(p-b)(p-c)；秦九韶三斜求积术与之等价，只凭三边即可求面积。 - [立方和与立方差公式](https://libremath.cn/formula/li-fang-he-yu-li-fang-cha-gong-shi)：立方和 (a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³，立方差 (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³；是因式分解与整式乘法的重要公式。 - [平面直角坐标系中的距离公式](https://libremath.cn/formula/ping-mian-zuo-biao-xi-ju-li-gong-shi)：平面内两点 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 的距离 PQ 等于横坐标差与纵坐标差平方和的算术平方根，由勾股定理直接推出。 - [平方差公式的推导与套用](https://libremath.cn/formula/pingfangcha-gongshi)：平方差公式 (a+b)(a-b)=a²-b²：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差；关键是找准“相同项”与“相反项”。 - [三角形面积与等积变换](https://libremath.cn/formula/san-jiao-xing-mian-ji-yu-deng-ji-bian-huan)：三角形面积 = 底×高/2；等底（同底）等高的三角形面积相等，同高两三角形面积比等于底之比，是面积法证题的基础。 - [图形运动的坐标变化规律](https://libremath.cn/formula/tu-xing-yun-dong-de-zuo-biao-gui-lv)：点 P(x,y) 平移右加左减、上加下减；关于 x 轴对称变 y 号，关于 y 轴对称变 x 号，关于原点对称两个坐标全变号，关于直线 y=x 对称交换坐标。 - [完全平方公式](https://libremath.cn/formula/wan-quan-ping-fang)：完全平方公式 (a±b)²=a²±2ab+b²；两数和（差）的平方等于它们的平方和加上（减去）这两数积的 2 倍。 - [比例的基本性质](https://libremath.cn/formula/bi-li-de-ji-ben-xing-zhi)：a:b=c:d 时 ad=bc（基本性质）；由此推出合比、分比、等比性质，是相似三角形比例式变形的代数工具。 - [二次函数顶点坐标与最值公式](https://libremath.cn/formula/er-ci-han-shu-ding-dian-yu-zui-zhi-gong-shi)：y=ax²+bx+c 的顶点为 (-b/2a, (4ac-b²)/4a)，当 a>0 时取最小值，a<0 时取最大值。 - [弧长与扇形面积公式](https://libremath.cn/formula/hu-chang-yu-shan-xing-mian-ji)：半径 r、圆心角 n° 的弧长 l=nπr/180，扇形面积 S=nπr²/360=lr/2；圆锥侧面展开是扇形。 - [一元二次方程求根公式](https://libremath.cn/formula/qiu-gen-gong-shi)：ax²+bx+c=0（a≠0，Δ≥0）的根为 x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)；由配方法对一般式推导而来，Δ 判定根的情况。 - [锐角三角函数定义公式](https://libremath.cn/formula/rui-jiao-san-jiao-han-shu-ding-yi-gong-shi)：在直角三角形中，sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边；三边关系由勾股定理保证。 - [特殊角的三角函数值](https://libremath.cn/formula/te-shu-jiao-de-san-jiao-han-shu-zhi)：30°、45°、60° 的正弦余弦正切值由等边三角形和等腰直角三角形直接推出；sin 与 cos 互换、tan 用商求，是口算基础。 - [二倍角公式](https://libremath.cn/formula/er-bei-jiao-gong-shi)：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α，tan2α=2tanα/(1-tan²α)。 - [辅助角公式](https://libremath.cn/formula/fu-zhu-jiao-gong-shi)：辅助角公式把 $a\sin x+b\cos x$ 合成为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中 $\tan\varphi=\frac ba$；三角换元求最值、周期与单调区间时一步到位。 - [基本不等式](https://libremath.cn/formula/ji-ben-bu-deng-shi)：基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$（$a,b>0$，等号当且仅当 $a=b$ 时成立）；变形 $ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$；用于求最值与证明不等式。 - [两角和与差的三角函数公式](https://libremath.cn/formula/liang-jiao-he-yu-cha-de-san-jiao-han-shu-gong-shi)：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)。 - [等比数列通项与前 n 项和公式](https://libremath.cn/formula/deng-bi-shu-lie-tong-xiang-yu-qian-n-xiang-he)：等比数列通项 aₙ=a₁qⁿ⁻¹，前 n 项和 Sₙ=a₁(1-qⁿ)/(1-q)（q≠1）；q 为公比，q=1 时 Sₙ=na₁。 - [等差数列通项与前 n 项和公式](https://libremath.cn/formula/deng-cha-shu-lie-tong-xiang-yu-qian-n-xiang-he)：等差数列通项 aₙ=a₁+(n-1)d，前 n 项和 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2=na₁+n(n-1)d/2；d 为公差。 - [椭圆的参数方程](https://libremath.cn/formula/tuo-yuan-can-shu-fang-cheng)：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的参数方程为 $x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$；把椭圆上的动点化为单参数，线性目标最值可由辅助角公式直接求出。 ## 教材同步 - [人教版一年级上册第五单元《20以内的进位加法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-er-shi-yi-nei-de-jin-wei-jia-fa)：按人教版（2024 审定）一年级上册第五单元编排，梳理9加几、8、7、6加几、5、4、3、2加几等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册第六单元《复习与关联》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-fu-xi-yu-guan-lian)：按人教版（2024 审定）一年级上册第六单元编排，梳理20以内数的认识、20以内的加减法、立体图形等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册第二单元《6~10的认识和加、减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-liu-zhi-shi-de-ren-shi-he-jia-jian-fa)：按人教版（2024 审定）一年级上册第二单元编排，梳理6~10的认识、10以内数的组成、6~10的加减法等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册第三单元《认识立体图形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-ren-shi-li-ti-tu-xing)：按人教版（2024 审定）一年级上册第三单元编排，梳理长方体、正方体、圆柱等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册第四单元《11~20的认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-shi-yi-zhi-er-shi-de-ren-shi)：按人教版（2024 审定）一年级上册第四单元编排，梳理11~20各数的认识、十位和个位、十加几和相应的减法等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册起始单元《数学游戏》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-shu-xue-you-xi)：按人教版（2024 审定）一年级上册起始单元（教材不编单元号）编排，梳理数一数、比多少、数学游戏等内容的学习顺序。 - [人教版一年级上册第一单元《5以内数的认识和加、减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yishang-wu-yi-nei-shu-de-ren-shi-he-jia-jian-fa)：按人教版（2024 审定）一年级上册第一单元编排，梳理1~5的认识、比大小、第几等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第二单元《20以内的退位减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-er-shi-yi-nei-de-tui-wei-jian-fa)：按人教版（2024 审定）一年级下册第二单元编排，梳理十几减9、十几减8、7、6、十几减5、4、3、2等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第七单元《复习与关联》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-fu-xi-yu-guan-lian)：按人教版（2024 审定）一年级下册第七单元编排，梳理100以内数的认识、100以内的加减法、平面图形等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册综合与实践活动《欢乐购物街》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-huan-le-gou-wu-jie)：按人教版（2024 审定）一年级下册综合与实践主题活动《欢乐购物街》（教材不编单元号，排在第六单元之后）编排，梳理认识人民币、人民币的单位、人民币的简单计算等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第一单元《认识平面图形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-ren-shi-ping-mian-tu-xing)：按人教版（2024 审定）一年级下册第一单元编排，梳理长方形、正方形、三角形等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第六单元《数量间的加减关系》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-shu-liang-jian-de-jia-jian-guan-xi)：按人教版（2024 审定）一年级下册第六单元编排，梳理求两数相差多少、求比一个数多几的数、求比一个数少几的数等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第五单元《100以内的笔算加、减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-yi-bai-yi-nei-de-bi-suan-jia-jian-fa)：按人教版（2024 审定）一年级下册第五单元编排，梳理两位数加两位数的笔算、两位数减两位数的笔算、竖式计算等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第四单元《100以内的口算加、减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-yi-bai-yi-nei-de-kou-suan-jia-jian-fa)：按人教版（2024 审定）一年级下册第四单元编排，梳理两位数加一位数、两位数加整十数、两位数减一位数等内容的学习顺序。 - [人教版一年级下册第三单元《100以内数的认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-yixia-yi-bai-yi-nei-shu-de-ren-shi)：按人教版（2024 审定）一年级下册第三单元编排，梳理数数和数的组成、读数和写数、数的顺序等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第五单元《7~9的表内乘、除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-biao-nei-cheng-chu-fa-er)：按人教版（2024 审定）二年级上册第五单元编排，梳理7的乘法口诀、8的乘法口诀、9的乘法口诀等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第二单元《1~6的表内乘法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-biao-nei-cheng-fa-yi)：按人教版（2024 审定）二年级上册第二单元编排，梳理乘法的初步认识、乘法算式、2~6的乘法口诀等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第三单元《1~6的表内除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-biao-nei-chu-fa-yi)：按人教版（2024 审定）二年级上册第三单元编排，梳理平均分、除法的初步认识、用2~6的乘法口诀求商等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第一单元《分类与整理》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-fen-lei-yu-zheng-li)：按人教版（2024 审定）二年级上册第一单元编排，梳理分类、分类的标准、数据的简单整理等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第六单元《复习与关联》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-fu-xi-yu-guan-lian)：按人教版（2024 审定）二年级上册第六单元编排，梳理表内乘法、表内除法、长度的测量等内容的学习顺序。 - [人教版二年级上册第四单元《厘米和米》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-ershang-li-mi-he-mi)：按人教版（2024 审定）二年级上册第四单元编排，梳理厘米、米、长度的测量等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第七单元《复习与关联》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-fu-xi-yu-guan-lian)：按人教版（2024 审定）二年级下册第七单元编排，梳理有余数的除法、万以内数的认识、倍的认识等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第一单元《时间在哪里》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-shi-jian-zai-na-li)：按人教版（2024 审定）二年级下册第一单元编排，梳理认识时间、时、分、时间的记录等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第三单元《数量间的乘除关系》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-shu-liang-jian-de-cheng-chu-guan-xi)：按人教版（2024 审定）二年级下册第三单元编排，梳理倍的认识、求一个数是另一个数的几倍、求一个数的几倍是多少等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第六单元《数学连环画》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-shu-xue-lian-huan-hua)：按人教版（2024 审定）二年级下册第六单元编排，梳理数学连环画、数学故事等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第五单元《万以内的加法和减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-wan-yi-nei-de-jia-fa-he-jian-fa)：按人教版（2024 审定）二年级下册第五单元编排，梳理万以内的加法、万以内的减法、加减法各部分间的关系等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第四单元《万以内数的认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-wan-yi-nei-shu-de-ren-shi)：按人教版（2024 审定）二年级下册第四单元编排，梳理1000以内数的认识、10000以内数的认识、数位顺序表等内容的学习顺序。 - [人教版二年级下册第二单元《有余数的除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-erxia-you-yu-shu-de-chu-fa)：按人教版（2024 审定）二年级下册第二单元编排，梳理有余数的除法、余数、除法竖式等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第八单元《曹冲称象的故事》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-cao-chong-cheng-xiang-de-gu-shi)：按人教版（2024 审定）三年级上册第八单元编排，梳理等量代换、质量单位、吨的认识等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第四单元《多位数乘一位数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-duo-wei-shu-cheng-yi-wei-shu)：按人教版（2024 审定）三年级上册第四单元编排，梳理多位数乘一位数、口算乘法、笔算乘法等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第六单元《分数的初步认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-fen-shu-de-chu-bu-ren-shi)：按人教版（2024 审定）三年级上册第六单元编排，梳理几分之一、几分之几、分数的简单计算等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第九单元《复习与关联》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-fu-xi-yu-guan-lian)：按人教版（2024 审定）三年级上册第九单元编排，梳理数与运算、图形的认识、量的计量等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第一单元《观察物体》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-guan-cha-wu-ti)：按人教版（2024 审定）三年级上册第一单元编排，梳理观察物体、从不同方向观察物体、立体图形的视图等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第三单元《毫米、分米和千米》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-hao-mi-fen-mi-he-qian-mi)：按人教版（2024 审定）三年级上册第三单元编排，梳理毫米、分米、千米等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第二单元《混合运算》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-hun-he-yun-suan)：按人教版（2024 审定）三年级上册第二单元编排，梳理混合运算、运算顺序、小括号等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第七单元《数字编码》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-shu-zi-bian-ma)：按人教版（2024 审定）三年级上册第七单元编排，梳理数字编码、邮政编码、身份证号码等内容的学习顺序。 - [人教版三年级上册第五单元《线和角》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanshang-xian-he-jiao)：按人教版（2024 审定）三年级上册第五单元编排，梳理线段、射线、直线等内容的学习顺序。 - [人教版三年级下册第二单元《除数是一位数的除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanxia-chu-shu-shi-yi-wei-shu-de-chu-fa)：按人教版（2024 审定）三年级下册第二单元编排，梳理口算除法、笔算除法与整理复习的学习顺序，强调从高位除起、余数要比除数小的竖式法则与验算习惯。 - [人教版三年级下册第五单元《数据的收集与整理》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanxia-shu-ju-de-shou-ji-yu-zheng-li)：按人教版（2024 审定）三年级下册第五单元编排，梳理收集数据、用画"正"字记录、整理成统计表并简单分析的学习顺序，强调"先收集、再整理、后比较"的统计全过程。 - [人教版三年级下册第四单元《图形的面积》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanxia-tu-xing-de-mian-ji)：按人教版（2024 审定）三年级下册第四单元编排，梳理面积的意义、面积单位、长方形和正方形的面积、面积单位间的进率的学习顺序，强调面积是对"面"的大小的度量。 - [人教版三年级下册第六单元《小数的初步认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sanxia-xiao-shu-de-chu-bu-ren-shi)：按人教版（2024 审定）三年级下册第六单元编排，梳理认识小数、小数的大小比较、简单的小数加减法的学习顺序，强调借助元、角、分与米制单位理解一位、两位小数。 - [人教版小学数学《除数是两位数的除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-chu-shu-shi-liang-wei-shu-de-chu-fa)：梳理口算除法、笔算除法（除数是整十数、接近整十数、不接近整十数）、商的变化规律。2026 秋新版教材已将《除数是两位数的除法》移出四年级上册，具体落点以新教材目录为准。 - [人教版四年级上册第一单元《万以上数的认识》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-da-shu-de-ren-shi)：按人教版（2024 审定）四年级上册第一单元编排，梳理亿以内数的认识、亿以上数的认识、数的大小比较、数的改写和求近似数的学习顺序，建立完整的十进制分级计数体系。 - [人教版小学数学《公顷和平方千米》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-gong-qing-he-ping-fang-qian-mi)：梳理公顷、平方千米的认识与换算，建立大面积单位观念。2026 秋新版教材已将《公顷和平方千米》移出四年级上册，具体落点以新教材目录为准。 - [人教版四年级上册第二单元《角的度量》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-jiao-de-du-liang)：按人教版（2024 审定）四年级上册第二单元编排，梳理角的再认识（线段、直线、射线与角的分类）、角的度量（量角与画角）的学习顺序，是几何度量的起点。 - [人教版四年级上册第五单元《平行四边形和梯形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-ping-xing-si-bian-xing-he-ti-xing)：按人教版（2024 审定）四年级上册第五单元编排，梳理平行和垂直、画垂线、平行线之间的距离、画长方形和正方形、平行四边形、梯形与四边形关系，含活动课神奇的默比乌斯带。 - [人教版四年级上册第三单元《多位数乘两位数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-san-wei-shu-cheng-liang-wei-shu)：按人教版（2024 审定）四年级上册第三单元编排，梳理口算乘法、笔算乘法（两位数乘两位数、三位数乘两位数、因数中间或末尾有 0）与积的变化规律的学习顺序，是整数乘法的收官单元。 - [人教版小学数学《数学广角——优化》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-shu-xue-guang-jiao-you-hua)：梳理沏茶问题、烙饼问题、田忌赛马，培养优化意识与策略思维。2026 秋新版教材已将《数学广角——优化》移出四年级上册，具体落点以新教材目录为准。 - [人教版四年级上册第六单元《条形统计图》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sishang-tiao-xing-tong-ji-tu)：按人教版（2024 审定）四年级上册第六单元编排，梳理单式条形统计图的认读、绘制与分析，以及复式条形统计图（2026 秋新版自四年级下册移入）的读图与比较方法，培养数据分析观念。 - [人教版四年级下册第二单元《观察物体（二）》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-guan-cha-wu-ti-er)：按人教版（2024 审定）四年级下册第二单元编排，梳理从不同位置观察同一物体、从同一位置观察不同物体，发展空间观念。 - [人教版四年级下册第八单元《平均数与条形统计图》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-ping-jun-shu-yu-tiao-xing-tong-ji-tu)：按人教版（2024 审定）四年级下册第八单元编排，梳理平均数的意义与计算、复式条形统计图的绘制与分析。 - [人教版四年级下册第五单元《三角形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-san-jiao-xing)：按人教版（2024 审定）四年级下册第五单元编排，梳理三角形的特性、分类、内角和，建立三角形的基本认识。 - [人教版四年级下册第九单元《数学广角——鸡兔同笼》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-shu-xue-guang-jiao-ji-tu-tong-long)：按人教版（2024 审定）四年级下册第九单元编排，梳理鸡兔同笼问题的假设法与方程解法，培养逻辑推理能力。 - [人教版四年级下册第一单元《四则运算》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-si-ze-yun-suan)：按人教版（2024 审定）四年级下册第一单元编排，梳理加、减、乘、除法的意义和各部分间的关系，以及括号的运用。 - [人教版四年级下册第七单元《图形的运动（二）》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-tu-xing-de-yun-dong-er)：按人教版（2024 审定）四年级下册第七单元编排，梳理轴对称、平移、平移的应用，发展空间观念。 - [人教版四年级下册第六单元《小数的加法和减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-xiao-shu-de-jia-fa-he-jian-fa)：按人教版（2024 审定）四年级下册第六单元编排，梳理小数加减法、小数加减混合运算、整数加法运算定律推广到小数。 - [人教版四年级下册第四单元《小数的意义和性质》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-xiao-shu-de-yi-yi-he-xing-zhi)：按人教版（2024 审定）四年级下册第四单元编排，梳理小数的意义、读写、性质、大小比较、小数点移动、单位换算、近似数。 - [人教版四年级下册第三单元《运算定律》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-yun-suan-ding-lv)：按人教版（2024 审定）四年级下册第三单元编排，梳理加法运算定律、乘法运算定律、简便计算，培养运算能力。 - [人教版四年级下册第十单元《总复习》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-sixia-zong-fu-xi)：按人教版（2024 审定）四年级下册第十单元编排，系统复习四年级下册各单元内容，构建知识网络。 - [人教版五年级上册第六单元《多边形的面积》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-duo-bian-xing-de-mian-ji)：按人教版（2024 审定）五年级上册第六单元编排，梳理平行四边形、三角形、梯形的面积公式推导与组合图形面积计算，强调转化思想。 - [人教版五年级上册第五单元《简易方程》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-jian-yi-fang-cheng)：按人教版（2024 审定）五年级上册第五单元编排，梳理用字母表示数、方程的意义、等式的性质、解方程、实际问题与方程的学习顺序。 - [人教版五年级上册第四单元《可能性》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-ke-neng-xing)：按人教版（2024 审定）五年级上册第四单元编排，梳理可能性、可能性的大小、掷一掷的学习顺序，强调随机思想与数据分析观念。 - [人教版五年级上册第七单元《数学广角——植树问题》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-shu-xue-guang-jiao-zhi-shu-wen-ti)：按人教版（2024 审定）五年级上册第七单元编排，梳理植树问题的三种情况（两端都栽、两端不栽、封闭图形），强调间隔数与棵数的关系。 - [人教版五年级上册第二单元《位置》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-wei-zhi)：按人教版（2024 审定）五年级上册第二单元编排，梳理用数对表示位置、在方格纸上用数对确定位置的学习顺序，强调行列坐标思想。 - [人教版五年级上册第一单元《小数乘法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-xiao-shu-cheng-fa)：按人教版（2024 审定）五年级上册第一单元编排，梳理小数乘整数、小数乘小数、积的近似数、整数乘法运算定律推广到小数的学习顺序。 - [人教版五年级上册第三单元《小数除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wushang-xiao-shu-chu-fa)：按人教版（2024 审定）五年级上册第三单元编排，梳理小数除以整数、一个数除以小数、商的近似数、循环小数、用计算器探索规律的学习顺序。 - [人教版五年级下册第三单元《长方体和正方体》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-chang-fang-ti-he-zheng-fang-ti)：按人教版（2024 审定）五年级下册第三单元编排，梳理长方体和正方体的认识、表面积、体积与容积的学习顺序。 - [人教版五年级下册第六单元《分数的加法和减法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-fen-shu-de-jia-fa-he-jian-fa)：按人教版（2024 审定）五年级下册第六单元编排，梳理同分母分数加减法、异分母分数加减法、分数加减混合运算的学习顺序。 - [人教版五年级下册第四单元《分数的意义和性质》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-fen-shu-de-yi-yi-he-xing-zhi)：按人教版（2024 审定）五年级下册第四单元编排，梳理分数的意义、真分数和假分数、分数的基本性质、约分、通分、分数和小数的互化。 - [人教版五年级下册第一单元《观察物体（三）》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-guan-cha-wu-ti-san)：按人教版（2024 审定）五年级下册第一单元编排，梳理根据视图摆几何体、根据三视图还原几何体的学习顺序，发展空间观念。 - [人教版五年级下册第八单元《数学广角——找次品》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-shu-xue-guang-jiao-zhao-ci-pin)：按人教版（2024 审定）五年级下册第八单元编排，梳理找次品的最优策略，强调优化思想与逻辑推理。 - [人教版五年级下册第五单元《图形的运动（三）》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-tu-xing-de-yun-dong-san)：按人教版（2024 审定）五年级下册第五单元编排，梳理旋转、平移和旋转的应用、欣赏与设计的学习顺序，发展空间观念。 - [人教版五年级下册第二单元《因数与倍数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-yin-shu-yu-bei-shu)：按人教版（2024 审定）五年级下册第二单元编排，梳理因数和倍数、2/5/3的倍数的特征、质数和合数、奇偶性的学习顺序。 - [人教版五年级下册第七单元《折线统计图》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-wuxia-zhe-xian-tong-ji-tu)：按人教版（2024 审定）五年级下册第七单元编排，梳理单式折线统计图、复式折线统计图、统计图的选择，强调数据分析观念。 - [人教版六年级上册第五单元《百分数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-bai-fen-shu-yi)：按人教版（2024 审定）六年级上册第五单元编排，梳理百分数的意义、百分数与小数和分数的互化、求百分率、折扣与利率的学习顺序，强调百分数是特殊的分数。 - [人教版小学数学《比》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-bi)：梳理比的意义与基本性质、化简比、按比分配的学习顺序，强调比与除法、分数的内在联系。2026 秋新版教材已将《比》移出六年级上册，落点以新教材目录为准。 - [人教版六年级上册第二单元《分数乘法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-fen-shu-cheng-fa)：按人教版（2024 审定）六年级上册第二单元编排，梳理分数乘整数、一个数乘分数、小数乘分数、分数混合运算及运算律、解决问题的学习顺序，强调「分子相乘作分子、分母相乘作分母」的算理与约分技巧。 - [人教版六年级上册第三单元《分数除法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-fen-shu-chu-fa)：按人教版（2024 审定）六年级上册第三单元编排，梳理倒数的认识、分数除以整数、一个数除以分数、解决问题的学习顺序，强调「除以一个数等于乘它的倒数」的统一法则。 - [人教版六年级上册第一单元《确定位置》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-wei-zhi-yu-fang-xiang-er)：按人教版（2024 审定）六年级上册第一单元编排，梳理用有序数对确定位置、用方向和距离确定位置、描述与绘制路线图的学习顺序，强调数对与三要素两种定位法。 - [人教版六年级上册第四单元《圆》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liushang-yuan)：按人教版（2024 审定）六年级上册第四单元编排，梳理圆的认识、扇形的认识、圆的周长、圆的面积与解决问题的学习顺序，强调化曲为直的极限思想与公式推导。 - [人教版六年级下册第二单元《百分数（二）》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-bai-fen-shu-er)：按人教版（2024 审定）六年级下册第二单元编排，梳理折扣、成数、税率、利率的学习顺序，强调百分数在商业与金融中的实际应用。 - [人教版六年级下册第四单元《比例》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-bi-li)：按人教版（2024 审定）六年级下册第四单元编排，梳理比例的意义与基本性质、解比例、正比例与反比例、比例的应用（比例尺、图形的放大与缩小）的学习顺序。 - [人教版六年级下册第一单元《负数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-fu-shu)：按人教版（2024 审定）六年级下册第一单元编排，梳理负数的意义、用正负数表示相反意义的量、在直线上表示正数、0 和负数的学习顺序，强调数轴模型与温度、海拔等生活情境。 - [人教版六年级下册第五单元《数学广角——鸽巢问题》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-shu-xue-guang-jiao-ge-chao-wen-ti)：按人教版（2024 审定）六年级下册第五单元编排，梳理鸽巢原理的基本形式、最不利原则与简单应用，强调逻辑推理与极端思维。 - [人教版六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-yuan-zhu-yu-yuan-zhui)：按人教版（2024 审定）六年级下册第三单元编排，梳理圆柱的认识、表面积、体积，圆锥的认识、体积的学习顺序，强调转化思想与等积变形。 - [人教版六年级下册第六单元《整理和复习》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-liuxia-zheng-li-he-fu-xi)：按人教版（2024 审定）六年级下册第六单元编排，梳理数与代数、图形与几何、统计与概率、数学思考、综合与实践五大领域的系统复习，构建小学数学知识网络。 - [人教版七年级上册第三章《代数式》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-dai-shu-shi)：按人教版（2024 审定）七上第三章《代数式》编排，梳理用字母表示数、列代数式与求代数式的值的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级上册第六章《几何图形初步》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-ji-he-tu-xing-chu-bu)：按人教版（2024 审定）七上第六章《几何图形初步》编排，梳理几何图形、直线射线线段、角及余角补角的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级上册第五章《一元一次方程》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-yi-yuan-yi-ci-fang-cheng)：按人教版（2024 审定）七上第五章《一元一次方程》编排，梳理方程概念、等式性质、解法步骤与列方程解应用题的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级上册第二章《有理数的运算》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-you-li-shu-de-yun-suan)：按人教版（2024 审定）七上第二章《有理数的运算》编排，梳理有理数加减、乘除、乘方及科学记数法、近似数的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级上册第一章《有理数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-you-li-shu)：按人教版（2024 审定）七上第一章《有理数》编排，梳理正数和负数、有理数、数轴、相反数、绝对值与大小比较的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级上册第四章《整式的加减》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qishang-zheng-shi-de-jia-jian)：按人教版（2024 审定）七上第四章《整式的加减》编排，梳理单项式、多项式、同类项、合并同类项与去括号的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级下册第十一章《不等式与不等式组》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-bu-deng-shi-yu-bu-deng-shi-zu)：按人教版（2024 审定）七下第十一章《不等式与不等式组》编排，梳理不等式及其解集、不等式性质、一元一次不等式与不等式组的学习顺序与易错点。 - [人教版七年级下册第十章《二元一次方程组》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-er-yuan-yi-ci-fang-cheng-zu)：按人教版（2024 审定）七下第十章《二元一次方程组》编排，梳理方程组概念、代入与加减消元法、实际问题应用、三元一次方程组的学习顺序与易错点。 - [人教版七年级下册第九章《平面直角坐标系》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-ping-mian-zhi-jiao-zuo-biao-xi)：按人教版（2024 审定）七下第九章《平面直角坐标系》编排，梳理有序数对、坐标系、象限与坐标方法两个简单应用（地理位置、平移）的学习顺序与易错点。 - [人教版七年级下册第八章《实数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-shishu)：按人教版（2024 审定）七下第八章《实数》编排，梳理平方根、立方根、实数及其简单运算的学习顺序、重点与易错点。 - [人教版七年级下册第十二章《数据的收集、整理与描述》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-shu-ju-de-shou-ji-zheng-li-yu-miao-shu)：按人教版（2024 审定）七下第十二章编排，梳理全面调查与抽样调查、总体个体样本、扇形图条形图折线图直方图与新增趋势图的学习顺序与选择方法。 - [人教版七年级下册第七章《相交线与平行线》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-qixia-xiang-jiao-xian-yu-ping-xing-xian)：按人教版（2024 审定）七下第七章《相交线与平行线》编排，梳理相交线、垂线、三线八角、平行线判定与性质、命题定理证明、平移的学习顺序与辨析要点。 - [人教版八年级上册第十八章《分式》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-fen-shi)：按人教版（2024 审定）八上第十八章编排，梳理分式概念、基本性质、分式运算、整数指数幂与分式方程的学习顺序与易错点。 - [人教版八年级上册第十四章《全等三角形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-quan-deng-san-jiao-xing)：按人教版（2024 审定）八上第十四章编排，梳理全等三角形性质、SSS/SAS/ASA/AAS/HL 五种判定与角平分线的学习顺序与易错点。 - [人教版八年级上册第十三章《三角形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-san-jiao-xing)：按人教版（2024 审定）八上第十三章编排，梳理三角形概念、三边关系、高线中线角平分线、内角和与外角的学习顺序与易错点。 - [人教版八年级上册第十七章《因式分解》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-yin-shi-fen-jie)：按人教版（2024 审定）八上第十七章编排，梳理因式分解概念、提公因式法与公式法的学习顺序、分解彻底性与易错点。 - [人教版八年级上册第十六章《整式的乘法》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-zhengshi-chengfa)：按人教版（2024 审定）八上第十六章编排，梳理幂的运算、整式乘法与乘法公式的学习顺序、结构辨析与易错点。 - [人教版八年级上册第十五章《轴对称》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bashang-zhou-dui-chen)：按人教版（2024 审定）八上第十五章编排，梳理轴对称性质、线段垂直平分线、画轴对称图形、等腰三角形与最短路径问题的学习顺序与易错点。 - [人教版八年级下册第十九章《二次根式》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-er-ci-gen-shi)：按人教版（2024 审定）八下第十九章编排，梳理二次根式的概念性质、乘除与最简、加减与混合运算的学习顺序、化简套路与易错点。 - [人教版八年级下册第二十章《勾股定理》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-gou-gu-ding-li)：按人教版（2024 审定）八下第二十章编排，梳理勾股定理的验证与应用、逆定理及其应用的学习顺序、面积法思想与易错点。 - [人教版八年级下册第二十二章《函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-han-shu)：按人教版（2024 审定）八下第二十二章编排，梳理常量与变量、函数概念、解析式与图象的学习顺序、单值对应要点与易错点。 - [人教版八年级下册第二十四章《数据的分析》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-shu-ju-de-fen-xi)：按人教版（2024 审定）八下第二十四章编排，梳理数据的集中趋势、离散程度、四分位数与分组的学习顺序、统计量选择与易错点。 - [人教版八年级下册第二十一章《四边形》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-si-bian-xing)：按人教版（2024 审定）八下第二十一章编排，梳理四边形与多边形、平行四边形的性质判定、特殊平行四边形的学习顺序、判定套路与易错点。 - [人教版八年级下册第二十三章《一次函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-baxia-yi-ci-han-shu)：按人教版（2024 审定）八下第二十三章编排，梳理一次函数概念、图象性质、与方程不等式的联系及实际应用的学习顺序与易错点。 - [人教版九年级上册第二十六章《二次函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-er-ci-han-shu)：按人教版（2024 审定）九上第二十六章编排，梳理二次函数概念、三种形式的图象性质、与一元二次方程的联系及实际应用的学习顺序与易错点。 - [人教版九年级上册第二十七章《反比例函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-fan-bi-li-han-shu)：按人教版（2024 审定）九上第二十七章编排，梳理反比例函数概念、图象与性质（双曲线、分支、渐近、对称）及实际应用的学习顺序与易错点。 - [人教版九年级上册第二十八章《旋转》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-xuan-zhuan)：按人教版（2024 审定）九上第二十八章编排，梳理图形的旋转、旋转的性质、中心对称与中心对称图形、关于原点对称的坐标规律的学习顺序与作图易错点。 - [人教版九年级上册第二十五章《一元二次方程》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-yi-yuan-er-ci-fang-cheng)：按人教版（2024 审定）九上第二十五章编排，梳理一元二次方程概念、四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）、根的判别式、根与系数的关系及实际应用的学习顺序与易错点。 - [人教版九年级上册第二十九章《圆》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-yuan)：按人教版（2024 审定）九上第二十九章编排，梳理圆的有关概念、圆的对称性与垂径定理、弧弦圆心角关系、圆周角定理及弧长扇形面积的学习顺序与计算易错点。 - [人教版九年级上册第三十章《直线与圆的位置关系》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiushang-zhi-xian-yu-yuan)：按人教版（2024 审定）九上第三十章编排，梳理直线与圆的三种位置、切线的判定与性质、切线长定理、三角形内切圆及正多边形与圆的学习顺序与证明套路。 - [人教版九年级下册第三十二章《锐角三角函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiuxia-rui-jiao-san-jiao-han-shu)：按人教版（2024 审定）九下第三十二章编排，梳理锐角三角函数定义、特殊角值、解直角三角形及其应用的学习顺序与计算易错点。 - [人教版九年级下册第三十四章《随机事件的概率》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiuxia-sui-ji-shi-jian-de-gai-lv)：按人教版（2024 审定）九下第三十四章编排，梳理随机事件分类、概率意义、列举法（列表法与树状图法）及用频率估计概率的学习顺序与计数易错点。 - [人教版九年级下册第三十三章《投影与视图》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiuxia-tou-ying-yu-shi-tu)：按人教版（2024 审定）九下第三十三章编排，梳理投影（平行投影、中心投影、正投影）、三视图（主视图、俯视图、左视图）的画法规律与由视图还原立体模型的学习顺序与易错点。 - [人教版九年级下册第三十一章《相似》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-jiuxia-xiang-si)：按人教版（2024 审定）九下第三十一章编排，梳理图形的相似、相似三角形的判定与性质、相似的实际应用及位似的学习顺序、判定套路与测量建模要点。 - [人教A版必修第二册第七章《复数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-er-fu-shu)：按人教A版（2019 审定）必修第二册第七章编排，梳理数系扩充、复数概念与几何意义、四则运算、三角表示的学习顺序，强调复数与平面向量的一一对应及乘法的旋转几何意义。 - [人教A版必修第二册第十章《概率》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-er-gai-lv)：按人教A版（2019 审定）必修第二册第十章编排，梳理有限样本空间、事件关系运算、古典概型、概率基本性质、事件独立性、频率稳定性的学习顺序，强调概率是随机现象的数量规律。 - [人教A版必修第二册第八章《立体几何初步》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-er-li-ti-ji-he-chu-bu)：按人教A版（2019 审定）必修第二册第八章编排，梳理基本立体图形、直观图、表面积与体积、空间点线面位置关系、平行与垂直的判定性质，强调从直观感知到逻辑论证的过渡。 - [人教A版必修第二册第六章《平面向量及其应用》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-er-ping-mian-xiang-liang-ji-qi-ying-yong)：按人教A版（2019 审定）必修第二册第六章编排，梳理向量概念、线性运算、基本定理与坐标表示、数量积、解三角形（正弦余弦定理）的学习顺序，强调向量是沟通几何与代数的桥梁。 - [人教A版必修第二册第九章《统计》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-er-tong-ji)：按人教A版（2019 审定）必修第二册第九章编排，梳理随机抽样（简单随机/分层）、用样本估计总体（取值规律/百分位数/集中趋势/离散程度）的学习顺序，强调样本代表性与统计推断思想。 - [人教A版必修第一册第三章《函数的概念与性质》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-yi-han-shu-de-gai-nian-yu-xing-zhi)：按人教A版（2019 审定）必修第一册第三章编排，梳理函数的集合对应定义、三种表示法、单调性奇偶性与最值、幂函数及函数应用（一）的学习顺序，强调定义法证单调性的「任取—作差—定号」三步。 - [人教A版必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-yi-ji-he-yu-chang-yong-luo-ji-yong-yu)：按人教A版（2019 审定）必修第一册第一章编排，梳理集合概念与表示、集合间关系与运算、充分必要条件及量词命题的学习顺序与符号易错点。 - [人教A版必修第一册第五章《三角函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-yi-san-jiao-han-shu)：按人教A版（2019 审定）必修第一册第五章编排，梳理任意角弧度制、三角函数定义、诱导公式、图象与性质、三角恒等变换、函数 y=Asin(ωx+φ) 与应用的学习顺序，强调单位圆主线与「奇变偶不变、符号看象限」。 - [人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-yi-yi-yuan-er-ci-han-shu-fang-cheng-he-bu-deng-shi)：按人教A版（2019 审定）必修第一册第二章编排，梳理等式与不等式性质、基本不等式、二次函数与一元二次方程不等式的学习顺序，强调数形结合（看图象写解集）与基本不等式求最值的三个前提。 - [人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》教材同步学习指南](https://libremath.cn/textbook/renjiao-bixiu-yi-zhi-shu-han-shu-yu-dui-shu-han-shu)：按人教A版（2019 审定）必修第一册第四章编排，梳理实数指数幂、指数函数、对数及其运算、对数函数、函数应用（零点二分法与模型）的学习顺序，强调底数 $a>1$ 与 $0