生产优化与最省材料：导数如何找到最优方案

最省材料做盒子：一道经典题

边长 60 cm 的正方形铁皮，四角各截去边长 $x$ cm 的小正方形，折成无盖盒子。求 $x$ 多大时容积最大。

建模：折成后底面边长 $60-2x$，高 $x$，容积

$V(x)=x(60-2x{)}^2,0<x<30$

求导找驻点：

$V^{\prime }(x)=(60-2x{)}^2-4x(60-2x)=(60-2x)(60-6x)$

令 $V^{\prime }(x)=0$：$x=10$ 或 $x=30$（舍去，此时无容积）。

验证：$0<x<10$ 时 $V^{\prime }>0$（增），$10<x<30$ 时 $V^{\prime }<0$（减），故 $x=10$ 取极大也是最大。

最大容积 $V(10)=10\times 40^2=16000$ cm³。截去 10 cm，容积最大。

求最优的四步通法

1. 设：设自变量（如截去的边长 $x$）
2. 列：把目标量（容积、利润）写成函数
3. 导：求导，令 $f^{\prime }(x)=0$ 找驻点
4. 比：比较驻点与端点函数值，结合实际取最值

生活里的「求最优」

这些问题的共同点是：能量化成函数，且函数有「峰」或「谷」。导数就是帮你找到峰顶与谷底的那把钥匙。

为什么高中才学

「求最优」小学靠试、初中靠配方与顶点式，但都限于二次函数。导数把方法推广到任意光滑函数——这是微积分成为现代科学语言的起点，也是从「算答案」到「找最优」的思维升级。