百分数、小数和分数的互化

定义

互化指的是在小数、分数、百分数之间转换形式，数值大小不变。

三条主线：

1. 小数 $\leftrightarrow$ 百分数：小数点移动两位
2. 分数 $\leftrightarrow$ 小数：分子除以分母
3. 分数 $\leftrightarrow$ 百分数：通常经小数中转

为什么是”移动两位”

这一条必须讲透，否则学生只会背方向、不会判断对错。

百分号 $\%$ 的意思是”除以 100”，所以：

$0.25=0.25\times 100\%=25\%$

乘 100 与添百分号是成对出现的——乘 100 让小数点右移两位，添百分号再把它除回去，数值才不变。

反过来：

$25\%=\frac{25}{100}=0.25$

去掉百分号等于乘 100，所以要除以 100 抵消，小数点左移两位。

学生掌握了”成对出现”这个道理，就不会再问”到底往哪边移”。

四条常用路径

转换	方法	例子
小数 → 百分数	小数点右移两位，加 %	$0.25\to 25\%$
百分数 → 小数	去 %，小数点左移两位	$25\%\to 0.25$
分数 → 百分数	先化小数，再化百分数	$\frac{1}{4}=0.25=25\%$
百分数 → 分数	写成分母 100 的分数再约分	$25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

建议让学生把几个常用值记住，做题能快很多：

$\frac{1}{2}=50\%\frac{1}{4}=25\%\frac{3}{4}=75\%\frac{1}{5}=20\%\frac{1}{8}=12.5\%\frac{1}{3}\approx 33.3\%$

典例精析

例 1 把 $0.25$、$1.2$、$0.005$ 化成百分数。

$0.25=25\%$；$1.2=120\%$；$0.005=0.5\%$。

例 2 把 $25\%$、$120\%$、$0.5\%$ 化成小数。

$25\%=0.25$；$120\%=1.2$；$0.5\%=0.005$。

注意 $0.5\%$ 那一组：去掉百分号后是 $0.5$，还要再左移两位才对，得 $0.005$。这是最容易丢位的地方。

例 3 把 $\frac{1}{4}$、$\frac{1}{3}$、$\frac{7}{20}$ 化成百分数。

$\frac{1}{4}=0.25=25\%$；

$\frac{1}{3}\approx 0.333=33.3\%$（除不尽，保留三位小数）；

$\frac{7}{20}=\frac{35}{100}=35\%$（这一题可以直接扩分成分母 100，更快）。

例 4 把 $25\%$、$12.5\%$ 化成分数。

$25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$；

$12.5\%=\frac{12.5}{100}=\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$。

课堂上的真实错法

错法一：移动方向搞反。 $2.5$ 化成 $2.5\%$。用”乘 100 才加百分号”的道理纠正：加了百分号就等于除以 100，若小数点不右移，数值就缩小了 100 倍。

错法二：带小数的百分数丢位。 $0.5\%$ 化成 $0.5$。可以让学生记住：去掉百分号后，小数点一定还要继续左移两位。

错法三：除不尽就卡住。 $\frac{1}{3}$ 化不成有限小数就放弃。规定：除不尽保留三位小数，写成 $33.3\%$。

错法四：化成分数不约分。 $25\%$ 写成 $\frac{25}{100}$ 就交卷。提醒”最简分数”这一要求。

给家长的讲法

不用讲规则，问一个问题：“25% 是什么意思？” 孩子答”就是 25 除以 100”，那 $25\%=0.25$ 就自然出来了；再问”0.25 怎么变成 25%？“，答”乘 100 再加百分号”，方向也就不会反了。

练的时候重点练容易丢位的那几个：$0.5\%$、$2.5\%$、$100\%$、$120\%$。这几个练熟，其余都不成问题。

另外建议把 $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}$、$\frac{1}{8}$ 这几个常用分数与百分数的对应记牢，考试时能省下不少计算时间。