比例尺的认识和应用

定义

比例尺：图上距离与实际距离的比。

$\text{比例尺}=\frac{\text{图上距离}}{\text{实际距离}}$

由此得到两个常用关系式：

$\text{图上距离}=\text{实际距离}\times \text{比例尺}$

$\text{实际距离}=\text{图上距离}÷\text{比例尺}$

比例尺有两种表示形式：

• 数值比例尺：如 $1:200000$、$1:500$、$20:1$
• 线段比例尺：图上画一段线段并标注代表的实际距离，如 0____40km

第一步永远是统一单位

这是比例尺计算中最大的失分点。

图上距离通常用厘米，实际距离常用千米或米，两者单位不同就不能直接比。

建议流程：

1. 把实际距离化成厘米（$1\text{ km}=100000\text{ cm}$，$1\text{ m}=100\text{ cm}$）
2. 按公式算出结果
3. 把结果换回千米或米再写答案

例如图上 $5\text{ cm}$、比例尺 $1:200000$：

$5\times 200000=1000000\text{（cm）}=10000\text{（m）}=10\text{（km）}$

如果停在”1000000 厘米”，即使数值算对了，也会被扣分——答案要换算成合适的单位。

缩小与放大：看前项和后项

判断方法很简单：

• 前项是 1（如 $1:500$）：图上比实际小，是缩小，用于地图、建筑图纸
• 后项是 1（如 $20:1$）：图上比实际大，是放大，用于精密零件

可以让学生记一句话：“前项 1 缩小，后项 1 放大。”

面积要用平方比

这是最难也最容易错的一条。

比例尺说的是长度的比。如果长度比是 $1:1000$，那么：

$\text{面积比}=1^2:1000^2=1:1000000$

所以图上面积换算成实际面积，要乘 $1000^2=1000000$，而不是 $1000$。

学生常在这里栽跟头，因为他们习惯了所有换算都乘同一个数。可以在课堂上让学生先算一个正方形的例子：图上边长 1 厘米、比例尺 $1:1000$，实际边长 1000 厘米 = 10 米，实际面积 $10\times 10=100$ 平方米——而图上面积只有 1 平方厘米，差了 100 万倍。算过一次就记住了。

典例精析

例 1 在比例尺 $1:200000$ 的地图上，量得两地相距 $5\text{ cm}$，实际距离是多少？

$5\times 200000=1000000\text{（cm）}=10\text{（km）}$

例 2 甲乙两地实际相距 $120\text{ km}$，在比例尺 $1:600000$ 的地图上应画多长？

$120\text{ km}=12000000\text{ cm}$

$12000000÷600000=20\text{（cm）}$

例 3 一个零件长 $5\text{ mm}$，画在图纸上长 $10\text{ cm}$，求比例尺。

统一单位：$10\text{ cm}=100\text{ mm}$。

比例尺 $=100:5=20:1$，是放大比例尺。

例 4 一块长方形地在比例尺 $1:2000$ 的地图上长 $4\text{ cm}$、宽 $3\text{ cm}$，实际面积是多少？

实际长：$4\times 2000=8000\text{ cm}=80\text{ m}$。

实际宽：$3\times 2000=6000\text{ cm}=60\text{ m}$。

实际面积：$80\times 60=4800{\text{（m}}^2\text{）}$。

注意这里必须先换算长度再算面积；若拿图上面积 $12{\text{ cm}}^2$ 直接乘 $2000$，得到 $24000{\text{ cm}}^2=2.4{\text{ m}}^2$，就错得离谱了——差了一个 $2000$ 倍。

课堂上的真实错法

错法一：单位不统一。 用厘米直接比千米。规定：先化厘米，算完再换回。

错法二：答案不换算。 写”1000000 厘米”就交卷。提醒：答案要用合适的单位（千米、米）。

错法三：放大缩小判断反。 用”前项 1 缩小、后项 1 放大”的口诀纠正。

错法四：面积直接乘比例尺。 用正方形例子演示，让学生看到差距有”平方”这么大。

给家长的讲法

拿出一张地图，让孩子量一量两个城市的图上距离，再算实际距离——他会发现”原来这么远”，比例尺的概念一下就实了。

讲单位换算时，教他一个笨办法：先把千米变成厘米（加 5 个 0），算完再把厘米变回千米（去 5 个 0）。 笨但不会错。

至于面积那一条，别讲公式，让他算一遍”图上 1 平方厘米的地，实际有多大”——答案大得惊人，他自然就记住要平方了。

对比

类型	形式	特点
缩小比例尺	$1:n$（$n>1$）	前项为 1，画地图最常见
放大比例尺	$n:1$（$n>1$）	后项为 1，画微小零件
线段比例尺	图上附一段标好实际距离的线段	先数每段代表多少

所求量	公式
图上距离	实际距离 $\times$ 比例尺
实际距离	图上距离 $÷$ 比例尺

注意单位必须先统一；面积比是比例尺的平方，不是比例尺本身。