直线与线段的基本事实

定义

基本事实 1（直线公理）：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为「两点确定一条直线」。

基本事实 2（线段公理）：两点的所有连线中，线段最短。简述为「两点之间，线段最短」。

两点间距离：连接两点间的线段的长度。

推导（说明与推论）

基本事实是从长期实践中总结、不需证明而直接承认的真命题，但它们的推论需要推理。

推论 1：两条直线相交只有一个交点。 反设直线 $a$、$b$ 有两个不同交点 $P$、$Q$，则经过 $P$、$Q$ 有两条不同直线，与「两点确定一条直线」矛盾，故交点唯一。$■$

推论 2：三角形任意两边之和大于第三边。 设 $△ABC$，顶点 $B$、$C$ 之间的路径有线段 $BC$ 与折线 $B\to A\to C$。由两点之间线段最短：

$BC<BA+AC$

同理得到其余两个不等式，合起来就是三角形三边关系。$■$

为什么叫「基本事实」而不是定理：定理需要由已知命题推出，而基本事实是从长期实践中总结出来、不加证明就直接承认的真命题。它们是几何推理的起点——后续所有证明最终都要回溯到少数几条基本事实上。「两点确定一条直线」与「两点之间线段最短」就属于这一类，课本里通常不要求证明，但要能熟练使用。

实际模型：

• 木匠弹墨线、排队看齐、植树定行：利用两点确定一条直线；
• 道路裁弯取直、架设电线尽量走直、行人横穿草坪抄近路：利用两点之间线段最短；
• 河道改直后航程变短，缩短的长度等于「折线路径总长减去线段长」。

「两点确定一条直线」怎么用

「确定」二字是有且只有的意思，包含两层：存在（有一条）与唯一（只有一条）。用的时候通常是这两类情形：

• 定方向：给定两个点，直线的位置就完全定下来了，再没有第二条。所以要在墙上固定一根木条的位置，钉两颗钉子就够——一颗钉子时木条还能转动
• 计条数：平面上有 $n$ 个点且任意三点不共线，每两点确定一条直线，共可确定 $\frac{n(n-1)}{2}$ 条。$3$ 个点确定 $3$ 条，$4$ 个点确定 $6$ 条

反过来，若三点共线，则这三点两两确定的直线是同一条，只能算一条。判断「几条直线」的题，关键就是先查有没有三点共线。

「两点之间线段最短」怎么用

它比较的是连接同样两个端点的不同路径：线段、折线、曲线都在内，线段最短。常见用法有两种：

• 说明不等式：三角形中 $BC<BA+AC$，因为右边是折线、左边是线段，于是得到三角形三边关系
• 求最短路径：把折线路径改成线段，缩短量就是「原路径长减去线段长」

注意它与另一条基本事实的分工：这里是两点对两点，比较的是点与点之间的路径；而「垂线段最短」是一点对一条直线，比较的是点到直线上各点的线段。题目里若出现「点 $P$ 到直线 $l$」，用后者；若出现「从 $A$ 到 $B$」，用前者。

典例精析

平原上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四个村庄（任意三点不共线），要建一个蓄水池使铺设管道总长度最省，怎样利用基本事实分析？

连接各村庄的管道主干应尽量走线段：两个供水点之间沿线段铺设最省（两点之间线段最短）；确定一条主管道的走向只需两个接口定位（两点确定一条直线）。这类选址问题进一步可用两点间距离量化比较。

再练一道计数题：平面上有 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点，其中 $A$、$B$、$C$ 共线，$D$ 不在这条直线上，共可确定几条直线？

三点共线时 $A$、$B$、$C$ 只贡献 $1$ 条直线；$D$ 与 $A$、$B$、$C$ 各确定一条，共 $3$ 条。合计 $4$ 条。若不加共线条件，答案才是 $\frac{4\times 3}{2}=6$ 条。

对比

内容	基本事实	关键词
直线	两点确定一条直线	唯一、定方向
线段	两点之间线段最短	最短、定长度
距离	连接两点的线段的长度	数量，有单位
垂线	点到直线垂线段最短	点与直线的场景