倒数的认识

两个特殊数：1 和 0

这一节是考试最爱考的部分，也是学生错得最多的地方。

1 的倒数是 1。 因为 $1\times 1=1$。从求法上看，$1=\frac{1}{1}$，调换分子分母仍是 $\frac{1}{1}$。

0 没有倒数。 有两个理由，建议都讲：

1. 从定义看：0 乘任何数都得 0，永远得不到 1，所以 0 找不到配对的数；
2. 从求法看：0 写成 $\frac{0}{1}$，调换后是 $\frac{1}{0}$，分母为 0 没有意义。

课堂上可以追问一句：“有没有哪个数和 0 相乘等于 1？“学生自己就会摇头——这比直接告诉他”0 没有倒数”记得牢。

“倒数”是关系，不是属性

学生常说”$\frac{2}{3}$ 是倒数”，这是错的。倒数描述的是两个数之间的关系，就像”同桌”一样，不能单独存在。

正确说法是”$\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{2}$ 互为倒数”，或者”$\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$”。

这个语言细节值得在课堂上反复纠正，因为它直接影响后面”互为相反数""互质”等概念的理解。

各种数的倒数怎么求

规律只有一条：先化成分数，再调换分子分母。 整数、小数、带分数都不例外。

典例精析

例 1 求 $\frac{3}{5}$、$7$、$0.5$ 的倒数。

$\frac{3}{5}\to \frac{5}{3}$；$7=\frac{7}{1}\to \frac{1}{7}$；$0.5=\frac{1}{2}\to 2$。

例 2 $1\frac{1}{2}$ 的倒数是多少？

先化假分数：$1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，倒数是 $\frac{2}{3}$。

例 3 一个数与 $\frac{2}{3}$ 相乘得 1，这个数是多少？

它就是 $\frac{2}{3}$ 的倒数，即 $\frac{3}{2}$。

例 4 用倒数计算：$6÷\frac{2}{3}$。

$=6\times \frac{3}{2}=9$。这里 $\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$，正是倒数的用武之地。

课堂上的真实错法

错法一：把数字倒着写。 0.5 的倒数写成 5.0，0.3 的倒数写成 3.0。这是把”倒数”理解成了”倒过来写”。纠正办法就是强制先化分数：任何数求倒数，第一步都是化成分数。

错法二：带分数留着整数部分。 $1\frac{1}{2}$ 的倒数写成 $1\frac{2}{1}$。同样是先化假分数就能避免。

错法三：认为 0 的倒数是 0。 用”0 乘任何数都得 0”来纠正。

错法四：单独说某个数是倒数。 语言训练，见上一节。

给家长的讲法

孩子最容易在小数和带分数上翻车，所以只需让他记住一句话：求倒数，先化分数，再上下颠倒。

可以玩一个小游戏：家长随便说一个数（0.5、2.5、$1\frac{1}{3}$、8），让孩子说倒数，并要求他先说出”它化成分数是多少”。练十次，小数和带分数的坑就都填上了。

至于”0 没有倒数”，别让他背，问他一句”0 乘几能等于 1？“——他想明白这个问题，答案就记一辈子了。