相反数与绝对值

定义

相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数 $a$ 的相反数记作 $-a$。特别地，$0$ 的相反数是 $0$。

绝对值：在数轴上，一个数对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，记作 $|a|$。

$|a|=\{\begin{array}{ll}a& (a>0)\\ 0& (a=0)\\ -a& (a<0)\end{array}$

几何意义：$|a|$ 表示数轴上点 $a$ 到原点的距离，故 $|a|\ge 0$ 恒成立。

对比

概念	记号	结果符号	0 的情况
相反数	$-a$	与 $a$ 异号	$-0=0$
绝对值	$\Vert a\Vert$	恒为非负	$\Vert 0\Vert =0$

两者说的不是一回事：相反数是另一个数（与原点对称的那个点），绝对值是一个距离（永远非负）。所以相反数可以是负的，而绝对值不能。

数轴上的直观

• 相反数：在数轴上位于原点两侧、到原点距离相等的两个点所对应的数。$3$ 与 $-3$ 关于原点对称
• 绝对值：点到原点的距离，与在原点左边还是右边无关。因此 $|a|=|-a|$

顺着这个直观还能读出一条常用结论：$|a-b|$ 表示数轴上 $a$、$b$ 两点之间的距离。例如 $|5-2|=3$，$|2-5|$ 也等于 $3$。它后面在数轴与绝对值方程里会反复出现。

$-a$ 一定是负数吗

不一定，要看 $a$ 本身是什么：

• 若 $a>0$，则 $-a<0$（负数）
• 若 $a=0$，则 $-a=0$
• 若 $a<0$，则 $-a>0$（正数）

所以 $-a$ 只是「$a$ 的相反数」这个记法，不能直接读成「负数」。这类题的标准做法就是分三种情况讨论，而不是凭印象下结论。

多重符号怎么化简

对具体数字，数一数前面的负号个数即可：

• 负号有奇数个，结果为负：$-(-(-3))=-3$
• 负号有偶数个，结果为正：$-(-3)=3$，$-(+5)=-5$（正号不影响结果）

但对字母要谨慎：$-a$ 的符号取决于 $a$，不能直接说它是正还是负。化简的规则是「先看有几个负号，再看字母本身的取值范围」。

绝对值的三条常用结论

1. $|a|\ge 0$，即绝对值恒为非负；$|a|$ 最小是 $0$，不可能为负
2. 若 $|a|+|b|=0$，则 $a=0$ 且 $b=0$——两个非负数之和为 $0$，只能是它们各自都为 $0$
3. 若 $|a|=3$，则 $a=3$ 或 $a=-3$——已知绝对值求原数时有两个答案，写成一个会漏解

第 2、3 条是这一章出现频率最高的考点，也是最容易失分的地方：一个要求「各自为零」，一个要求「别漏掉负的那个」。

典例精析

化简双重符号：$-(-3)=3$；$-(+5)=-5$；$-(-a)$ 当 $a=2$ 时等于 $2$，当 $a=-2$ 时等于 $-2$。注意最后一项不能先判符号，要先知道 $a$ 的值。

求 $|a|$ 分段讨论：当 $a=-4$ 时 $|-4|=-(-4)=4$；当 $a=0$ 时 $|0|=0$；当 $a=\frac{1}{2}$ 时 $|\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}$。

利用结论 2：已知 $|x-1|+|y+2|=0$，则 $x-1=0$ 且 $y+2=0$，得 $x=1$、$y=-2$。

利用结论 3：解方程 $|x|=5$ 得 $x=\pm 5$，只写 $x=5$ 是漏解。

与其他知识的联系

绝对值的「先判符号、再定值」是后面许多运算的基础：有理数加减法中，异号两数相加要用较大的绝对值减去较小的绝对值；二次根式里有 $\sqrt{a^2}=|a|$；到了数轴上，两点间距离也用绝对值表示。它们背后的同一件事是——先丢掉方向，只留大小；再根据需要判断方向。