等比数列

定义

等比数列：若数列 $\{a_n\}$ 满足 $\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（非零常数）对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 成立，则称 $\{a_n\}$ 为等比数列，$q$ 叫公比。

等比中项：若 $a$、$b$、$c$ 成等比数列，则 $b$ 叫 $a$、$c$ 的等比中项，且

$b^2=ac(ac>0)$

等比中项为 $b=\pm \sqrt{ac}$。

推导

通项公式：

$a_n=a_1{q}^{n-1}(a_1\ne 0,q\ne 0)$

推导：由 $\frac{a_n}{a_{n-1}}=q$ 累乘得 $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$。

前 $n$ 项和公式：

$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}& (q\ne 1)\\ n{a}_1& (q=1)\end{array}$

推导：用错位相减法。设 $S_n=a_1+a_{1}q+\cdots +a_1{q}^{n-1}$，$q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^n$，相减得 $(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$，$q\ne 1$ 时 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$。

等比数列性质：

性质	表达
通项变形	$a_n=a_m{q}^{n-m}$（$m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）
等距项积	$a_m{a}_n=a_p{a}_q$ 当 $m+n=p+q$
子数列	下标成等差的子列仍等比，公比 $q^{\prime }=q^k$
前 $n$ 项积	$P_n=a_1^n\cdot q^{n(n-1)/2}$
$S_n$ 分段	$S_{2k}=S_k(1+q^k)$（仅等比时成立）

典例精析

例 1：等比数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=2$、$q=3$，求 $a_5$、$S_5$。

$a_5=2\times 3^4=162$。

$S_5=\frac{2\times (1-3^5)}{1-3}=\frac{2\times (1-243)}{-2}=\frac{2\times (-242)}{-2}=242$。

例 2：三个数成等比数列，和为 $14$，积为 $64$，求三个数。

设三数为 $a$、$ar$、$a{r}^2$（或更简洁设为 $\frac{a}{r}$、$a$、$ar$）。

用第二种设法：

• 积：$\frac{a}{r}\cdot a\cdot ar=a^3=64$，$a=4$；
• 和：$\frac{4}{r}+4+4r=14$，$\frac{4}{r}+4r=10$，$\frac{4+4r^2}{r}=10$，$4r^2-10r+4=0$，$2r^2-5r+2=0$，$(2r-1)(r-2)=0$，$r=\frac{1}{2}$ 或 $r=2$。

故三个数为 $8,4,2$ 或 $2,4,8$。

例 3：等比数列前 $n$ 项和 $S_n=3^n-1$，求 $a_n$。

$n=1$ 时 $a_1=S_1=3^1-1=2$。

$n\ge 2$ 时 $a_n=S_n-S_{n-1}=(3^n-1)-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=3^{n-1}(3-1)=2\cdot 3^{n-1}$。

检验 $n=1$：$a_1=2\cdot 3^0=2$，符合，故 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

对比

项目	等差数列	等比数列
定义	$a_{n+1}-a_n=d$	$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$
通项	$a_1+(n-1)d$	$a_1{q}^{n-1}$
中项	$2b=a+c$	$b^2=ac$
求和	$\frac{(a_1+a_n)n}{2}$	$\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）
求和方法	倒序相加	错位相减