数列求和：等差、等比与裂项等常用方法

定义

求数列前 $n$ 项和 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$ 的过程，称为数列求和。

四种常用求和方法

方法	适用	核心技巧
倒序相加	等差数列	正序 + 倒序，每对和相等
错位相减	等比、差比数列	乘公比后错位相减消中间项
裂项相消	通项可拆为两项差	中间项抵消，只剩首尾
分组求和	通项是几部分之和	拆成几个会求的数列分别求

两大基本公式

等差数列：

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

等比数列（$q\ne 1$）：

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q};q=1\text{ 时 }{S}_n=n{a}_1$

典例精析

例 1（裂项相消） 求 $\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$。

由 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，原式

$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

中间项全部相消，只剩首尾。

例 2（错位相减求差比数列） 求 $S_n=1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1}(x\ne 1)$。

$x{S}_n=x+2x^2+\cdots +(n-1)x^{n-1}+n{x}^n$

相减：$(1-x)S_n=1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}-n{x}^n=\frac{1-x^n}{1-x}-n{x}^n$，故

$S_n=\frac{1-x^n}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^n}{1-x}$

辨析与提醒

• 等比讨论 $q=1$：用公式 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 前，先确认 $q\ne 1$；$q=1$ 要单独写成 $n{a}_1$。
• 裂项数清剩余：裂项相消后首尾各留几项，取决于通项拆分的「跨度」，写成几项相加观察最稳妥。
• 通项定方法：先看通项结构——等差等比直接用公式，分式尝试裂项，等差乘等比用错位相减。

跨学段衔接

高斯「$1$ 到 $100$ 求和」是倒序相加的雏形；初中接触简单数列规律；高中系统学习等差、等比、裂项、错位相减；大学「级数」研究无穷多项求和的收敛性。数列求和是从「有限加」走向「无穷和」的桥梁。