幂函数：形如 y = x^α 的函数

定义

形如

$y=x^{\alpha }(\alpha \text{ 为常数})$

的函数叫做幂函数。注意三点：

1. 系数为 1：$y=2x^2$ 不是幂函数
2. 底数是自变量：$x$ 在变，$\alpha$ 固定
3. 定义域随 $\alpha$ 而变：$\alpha =\frac{1}{2}$ 时 $x\ge 0$，$\alpha =-1$ 时 $x\ne 0$

五个典型幂函数

函数	$\alpha$	定义域	奇偶性	第一象限单调性
$y=x$	$1$	$\mathbb{R}$	奇	增
$y=x^2$	$2$	$\mathbb{R}$	偶	增
$y=x^3$	$3$	$\mathbb{R}$	奇	增
$y=x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{1}{2}$	$[0,+\infty )$	非奇非偶	增
$y=x^{-1}$	$-1$	$x\ne 0$	奇	减

图象的两条铁律

1. 都过定点 $(1,1)$：因为 $1^{\alpha }=1$ 对任何 $\alpha$ 成立
2. 第一象限单调性看 $\alpha$ 符号：$\alpha >0$ 增、$\alpha <0$ 减

$\alpha$ 的大小决定 $x>1$ 时谁增长更快：$\alpha$ 越大，图象在 $x>1$ 处越陡峭。

辨析与提醒

• 幂函数 vs 指数函数：变量在底数是幂函数，在指数是指数函数。$y=x^2$ 与 $y=2^x$ 形状、性质完全不同，别混淆。
• 定义域先确定：研究单调性、奇偶性前，先根据 $\alpha$ 写出定义域。$y=x^{1/2}$ 在负数上根本没定义，谈不上「关于原点对称」。