一次函数

定义

形如 $y=kx+b(k\ne 0)$ 的函数叫一次函数。其中 $k$、$b$ 是常数，$k$ 称为斜率，$b$ 称为纵截距。

当 $b=0$ 时，$y=kx(k\ne 0)$ 叫正比例函数，是一次函数的特例。

为什么要求 $k\ne 0$：若 $k=0$，解析式变成 $y=b$，函数值不随 $x$ 变化，图象是一条水平直线，也就不是「一次」的了。所以判定一次函数时，「$x$ 的最高次数为 $1$」与 $k\ne 0$ 这两条都要看。

$k$ 与 $b$ 各决定什么

• $k$（斜率）决定直线的倾斜方向与陡缓：$|k|$ 越大，直线越陡。$k>0$ 时 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，直线向右上升；$k<0$ 时 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，直线向右下降
• **$b$（纵截距）**决定直线与 $y$ 轴交点的位置：交点坐标为 $(0,b)$。$b$ 的正负决定该交点在原点上方还是下方

函数的增减性只由 $k$ 决定：$k>0$ 递增，$k<0$ 递减。它与象限判定、不等式解集都直接相关。

图象经过哪些象限

$k$ 的符号	$b$ 的符号	经过的象限	增减性
$k>0$	$b>0$	一、二、三	递增
$k>0$	$b<0$	一、三、四	递增
$k<0$	$b>0$	一、二、四	递减
$k<0$	$b<0$	二、三、四	递减

记忆的办法：先由 $k$ 定「上升还是下降」，再由 $b$ 定「与 $y$ 轴交于上方还是下方」，画个草图就清楚了。若 $b=0$，直线过原点，只经过两个象限（$k>0$ 过一、三象限，$k<0$ 过二、四象限）。

与坐标轴的交点

• 与 $y$ 轴交点：令 $x=0$，得 $(0,b)$
• 与 $x$ 轴交点：令 $y=0$，得 $\left(-\frac{b}{k},0\right)$
• 与两坐标轴围成的直角三角形面积：$S=\frac{b^2}{2|k|}$

待定系数法求解析式

已知两个独立条件求解析式，标准步骤是：

1. 设 $y=kx+b$（$k\ne 0$）
2. 把两点的坐标 $(x,y)$ 分别代入，得到关于 $k$、$b$ 的二元一次方程组
3. 解方程组求出 $k$、$b$
4. 代回所设形式，写出解析式

两个独立条件唯一确定一条直线，这与「两点确定一条直线」是同一件事。

平移

直线 $y=kx$ 向上平移 $b$ 个单位得 $y=kx+b$（向下平移时 $b<0$）。横向平移同样有规律：$y=kx+b$ 向左平移 $m$ 个单位得 $y=k(x+m)+b$。概括起来是上加下减、左加右减；平移不改变 $k$，因此平移前后的两条直线互相平行。

对比

一次函数与正比例函数的对比：

项目	一次函数	正比例函数
解析式	$y=kx+b(k\ne 0)$	$y=kx(k\ne 0)$
图象	过 $(0,b)$ 的直线	过原点 $(0,0)$ 的直线
是否过原点	不一定（仅当 $b=0$ 时过原点）	必过原点
关系	一般情形	特例（$b=0$）

典例精析

例 1 已知一次函数图象过点 $(0,2)$ 与 $(1,-1)$，求 $k$、$b$。

解：代入 $y=kx+b$：

• 由 $(0,2)$：$b=2$。
• 由 $(1,-1)$：$-1=k+2$，解得 $k=-3$。

所以解析式为 $y=-3x+2$。

例 2 画 $y=2x-1$ 的草图。

解：定两点即可连线：

• $x=0$ 时 $y=-1$，得 $(0,-1)$。
• $x=1$ 时 $y=1$，得 $(1,1)$。

过这两点的直线即为所求。由于 $k=2>0$，直线向上倾斜。它与 $x$ 轴交于 $\left(\frac{1}{2},0\right)$，与两坐标轴围成的三角形面积为 $\frac{(-1{)}^2}{2\times 2}=\frac{1}{4}$。

例 3 判断 $y=-2x+3$ 的图象经过哪些象限，并说明增减性。

解：$k=-2<0$，图象向右下降，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；$b=3>0$，与 $y$ 轴交于原点上方。故图象经过一、二、四象限。

常见错：把 $y=5$ 当成一次函数——它没有 $kx$ 项（相当于 $k=0$），是常数函数；把 $y=\frac{2}{x}$ 当成一次函数——它不是整式，属于后面要学的反比例函数。

与其他知识的联系

一次函数是「函数」这个概念的第一个实例，后面研究函数的整套方法在这里预演一遍：

• 方程：方程 $kx+b=0$ 的解，就是图象与 $x$ 轴交点的横坐标
• 不等式：$kx+b>0$ 的解集，就是图象在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 的取值范围
• 方程组：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解
• 后续函数：二次函数、反比例函数的研究思路（解析式 → 图象 → 性质 → 应用）与本页完全同构

因此这一节真正要练熟的是「由解析式想图象、由图象读性质」这一双向转换。