圆的方程

定义

圆的标准方程：以 $C(a,b)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆的方程为

$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

圆的一般方程：形如

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$

当 $D^2+E^2-4F>0$ 时表示圆，圆心 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$，半径 $r=\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$；

当 $D^2+E^2-4F=0$ 时表示一个点 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$；

当 $D^2+E^2-4F<0$ 时无实数轨迹。

推导

圆的方程之间的互化：

方向	操作
标准 → 一般	展开 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 整理
一般 → 标准	配方：${\left(x+\frac{D}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{E}{2}\right)}^2=\frac{D^2+E^2-4F}{4}$

直线与圆的位置关系（设圆心到直线距离为 $d$、半径 $r$）：

关系	几何条件	代数条件（联立 $\Delta$）
相离	$d>r$	$\Delta <0$
相切	$d=r$	$\Delta =0$
相交	$d<r$	$\Delta >0$

弦长公式：直线被圆所截弦长

$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$

其中 $d$ 为圆心到直线的距离（垂径定理的应用）。

过圆上一点的切线：圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 在点 $(x_0,y_0)$（在圆上）处的切线方程为

$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$

典例精析

例 1：判断方程 $x^2+y^2-4x+6y-3=0$ 是否表示圆，若表示求圆心和半径。

$D=-4$、$E=6$、$F=-3$，$D^2+E^2-4F=16+36+12=64>0$，表示圆。

圆心 $\left(\frac{4}{2},-\frac{6}{2}\right)=(2,-3)$，半径 $r=\frac{1}{2}\sqrt{64}=4$。

标准方程：$(x-2{)}^2+(y+3{)}^2=16$。

例 2：求过点 $A(1,2)$、$B(3,4)$、$C(5,2)$ 的圆的方程。

设圆方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，三点代入：

• $1+4+D+2E+F=0$，即 $D+2E+F=-5$；
• $9+16+3D+4E+F=0$，即 $3D+4E+F=-25$；
• $25+4+5D+2E+F=0$，即 $5D+2E+F=-29$。

第二式减第一式得 $2D+2E=-20$，即 $D+E=-10$；第三式减第一式得 $4D=-24$，所以 $D=-6$、$E=-4$，再代回第一式得 $F=9$。圆方程为

$x^2+y^2-6x-4y+9=0$

配方得 $(x-3{)}^2+(y-2{)}^2=4$，圆心 $(3,2)$，半径 $2$。三点代回均成立，且 $D^2+E^2-4F=36+16-36=16>0$，确为圆。

例 3：直线 $3x-4y+5=0$ 与圆 $x^2+y^2=4$ 的位置关系？

圆心 $(0,0)$ 到直线距离 $d=\frac{|3\times 0-4\times 0+5|}{\sqrt{9+16}}=\frac{5}{5}=1<2=r$，故直线与圆相交，弦长 $|AB|=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$。

对比

方程形式	直接信息	适用场景
标准方程 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$	圆心 $(a,b)$、半径 $r$	已知圆心半径求方程
一般方程 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$	经配方得圆心、半径	已知点求方程