圆的概念与性质

定义

圆：平面上到定点 $O$ 的距离等于定长 $r$ 的所有点组成的图形，记作 $\odot O$。其中 $O$ 叫圆心，$r$ 叫半径。

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。两个条件缺一不可：只知道圆心画不出圆，只知道半径也画不出圆。

要注意的是，这里说的「圆」指的是那条封闭曲线（圆周），不包含内部区域。圆盘（圆面）才包括内部。这个区别在说「点到圆心的距离小于半径则点在圆内」时才用得上。

同一个图形还可以换个说法得到：把一条线段绕它的一个端点旋转一周，另一个端点经过的路径就是圆。两种说法完全等价。

确定一个圆需要什么：圆心与半径，共两个独立条件。所以「过两个点可以作无数个圆」，而过不在同一直线上的三个点只能作一个圆（详见确定圆的条件）。

圆中的五个基本元素

• 弦：连接圆上任意两点的线段，如 $AB$；
• 直径：经过圆心的弦，长度 $d=2r$，是圆中最长的弦；
• 弧：圆上两点间的部分，记作 $\widehat{AB}$；
• 圆心角：顶点在圆心的角；
• 圆周角：顶点在圆上、两边都与圆相交的角，如 $\angle ACB$。

弦是线段，弧是曲线段——两者的长度一般不相等，不能随意换算。直径是过圆心的弦，而半圆是半个圆的弧，二者一个是线段一个是曲线，也不要混为一谈。

劣弧、优弧与半圆

圆上任意两点把圆分成两段弧：

• 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示，如 $\widehat{AB}$；
• 优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示，如 $\widehat{ACB}$；
• 半圆：恰好是半个圆，既不算优弧也不算劣弧。

所以书写时「$\widehat{AB}$」默认指劣弧；要表示另一半，必须写成三个字母。这是作业里最容易被扣分的记号。

等弧：在同圆或等圆中能够完全重合的弧叫等弧。「同圆或等圆」这个前提不能少——两个半径不同的圆里，即便圆心角相等，弧也不相等。

弧的度数 vs 弧长

两个不同的量，常被混为一谈：

	含义	单位	由什么决定
弧的度数	弧所对圆心角的大小	度	只由圆心角决定
弧长	弧的实际长度	长度单位	由圆心角和半径共同决定

弧的度数等于它所对圆心角的度数；弧长则由 $l=\frac{n\pi r}{180}$ 给出（见弧长与扇形面积公式）。半径不同的两个圆中，圆心角相同则弧的度数相同，但弧长不同。

推导

由圆的定义，设圆心 $O$ 半径 $r$，圆上任意一点 $P$ 满足 $OP=r$。

元素	定义	关系
半径 $r$	圆心到圆上一点的距离	同圆中所有半径相等
直径 $d$	经过圆心的弦	$d=2r$，是最长的弦
弦	圆上两点的连线段	长度 $\le d$
弧 $\widehat{AB}$	圆上两点间的曲线	分为优弧、劣弧、半圆
圆心角	顶点在圆心	度数等于所对弧的度数

「同圆或等圆中半径都相等」是后面所有推理的起点：半径相等意味着可以直接用等腰三角形与 SSS 全等。圆中的问题，多半最后都要回到「两条半径构成一个等腰三角形」这一步。

典例精析

$\odot O$ 的半径为 $5$，弦 $AB$ 长为 $8$，求圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离。

过 $O$ 作 $OE\perp AB$ 于 $E$，由垂径定理，$E$ 平分 $AB$，故 $AE=4$。

在 Rt$△OAE$ 中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理：

$OE=\sqrt{O{A}^2-A{E}^2}=\sqrt{25-16}=3$

即圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离为 $3$。

再练一道体现「半径 → 等腰三角形」的：$\odot O$ 中 $OA$、$OB$ 是两条半径，$\angle OAB=35^{\circ }$，求 $\angle AOB$。

由 $OA=OB$ 知 $△OAB$ 是等腰三角形，两底角相等，故 $\angle OBA=35^{\circ }$。由三角形内角和：

$\angle AOB=180^{\circ }-35^{\circ }-35^{\circ }=110^{\circ }$

这类题的关键只有一步：看见两条半径就想等腰三角形。

对比

元素	是否过圆心	长度范围
半径	一端在圆心	$r$
直径	过圆心	$2r$
弦	不一定	$\le 2r$

与其他知识的联系

圆是初中几何的收官内容，前面几乎所有的工具在这里都会被用上一次：勾股定理（算弦长与圆心到弦的距离）、全等与相似（证弧、弦、角相等）、等腰三角形（两条半径构成的三角形）、四边形（圆内接四边形对角互补）。

往后，这些结论会统一到一条主线上——同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四组量里只要有一组相等，其余三组就都相等。再往上，圆会走进坐标系变成圆的方程，改用代数方法处理。