等差数列通项与前 n 项和公式

定义

通项公式：

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

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其中 $a_1$ 是首项，$d$ 是公差，$n$ 是项数。

前 $n$ 项和公式（两种等价形式）：

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$$

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通项推导

等差数列定义：$a_{n+1}-a_n=d$（常数）。

从 $a_1$ 出发依次加 $d$：

$a_1,a_1+d,a_1+2d,\dots ,a_1+(n-1)d$

所以第 $n$ 项为 $a_n=a_1+(n-1)d$。

求和推导（倒序相加法）

设 $S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$。

把它倒过来写：$S_n=a_n+a_{n-1}+\cdots +a_1$。

两式相加，注意等差数列的性质「首末等距两项和相等」（$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=\cdots$）：

$2S_n=\underset{n\text{ 组}}{\underbrace{(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+\cdots +(a_1+a_n)}}=n(a_1+a_n)$

所以

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

代入 $a_n=a_1+(n-1)d$ 即得第二种形式。

推广：已知任意两项求公差

若已知 $a_m$ 和 $a_n$（$m<n$），则

$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$

因为从 $a_m$ 到 $a_n$ 经过了 $n-m$ 次加 $d$。

典例精析

例 1 等差数列 $a_1=2$，$d=3$，求 $a_5$ 和 $S_5$。

$a_5=2+(5-1)\times 3=14$

$S_5=\frac{5\times (2+14)}{2}=40$

或用第二种形式：

$S_5=5\times 2+\frac{5\times 4}{2}\times 3=10+30=40$

例 2 等差数列中 $a_3=7$，$a_7=19$，求 $a_{10}$。

先求公差：

$d=\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{19-7}{4}=3$

$a_1=a_3-2d=7-6=1$

$a_{10}=1+(10-1)\times 3=28$

例 3 等差数列前 10 项和 $S_{10}=100$，$a_1=1$，求 $d$。

由 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$：

$100=10\times 1+\frac{10\times 9}{2}d=10+45d$

$45d=90,d=2$

对比

量	公式	已知条件
通项 $a_n$	$a_1+(n-1)d$	首项、公差、项数
和 $S_n$	$\frac{n(a_1+a_n)}{2}$	首项、末项、项数
和 $S_n$	$n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$	首项、公差、项数

注意事项

$(n-1)d$ 的 $n-1$：求 $a_n$ 时乘的是 $n-1$，不是 $n$。因为 $a_1$ 本身是第 1 项，不需要加 $d$；到第 $n$ 项只需加 $n-1$ 次。

求和公式的分母 2：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 和 $n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$ 都有除以 2，漏了就变成两倍。

公差计算：$d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$，分母是下标之差 $n-m$，不是项数 $n-m+1$。

与其他知识的联系

等差数列的通项 $a_n=dn+(a_1-d)$ 是关于 $n$ 的一次函数（定义域为正整数），所以等差数列的图像是直线上的离散点。前 $n$ 项和 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a_1-\frac{d}{2})n$ 是关于 $n$ 的二次函数（常数项为 0）。