等比数列通项与前 n 项和公式

定义

通项公式：

$$a_n=a_1{q}^{n-1}$$

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其中 $a_1$ 是首项，$q$ 是公比（$q\ne 0$），$n$ 是项数。

前 $n$ 项和公式：

当 $q\ne 1$ 时，

$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$

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当 $q=1$ 时，等比数列是常数列，

$$S_n=n{a}_1$$

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通项推导

等比数列定义：$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$（常数）。

从 $a_1$ 出发依次乘 $q$：

$a_1,a_{1}q,a_1{q}^2,\dots ,a_1{q}^{n-1}$

所以第 $n$ 项为 $a_n=a_1{q}^{n-1}$。

求和推导（错位相减法）

设 $S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^{n-1}$。

两边乘 $q$：

$q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+\cdots +a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^n$

两式相减，中间项抵消：

$S_n-q{S}_n=a_1-a_1{q}^n$

$(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$

当 $q\ne 1$ 时，

$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$

典例精析

例 1 等比数列 $a_1=2$，$q=3$，求 $a_4$ 和 $S_4$。

$a_4=2\times 3^{4-1}=2\times 27=54$

$S_4=\frac{2(1-3^4)}{1-3}=\frac{2(1-81)}{-2}=\frac{-160}{-2}=80$

例 2 等比数列中 $a_1=1$，$a_4=8$，求公比 $q$ 和 $S_5$。

由 $a_4=a_1{q}^3$：

$8=1\times q^3,q=2$

$S_5=\frac{1(1-2^5)}{1-2}=\frac{1-32}{-1}=31$

例 3 求等比数列 $2,2,2,2,2$ 的前 5 项和。

这是 $q=1$ 的等比数列（常数列），不能用 $q\ne 1$ 的公式：

$S_5=5\times 2=10$

若硬套公式 $\frac{2(1-1^5)}{1-1}$，分母为 0，无意义。

对比

数列	通项	求和（关键条件）
等差数列	$a_n=a_1+(n-1)d$	$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$
等比数列	$a_n=a_1{q}^{n-1}$	$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q\ne 1$）；$S_n=n{a}_1$（$q=1$）

注意事项

$q=1$ 的讨论：使用求和公式前必须先判断 $q$ 是否等于 1。若题目未说明 $q\ne 1$，要分情况讨论，否则会出现分母为 0 的错误。

$q^{n-1}$ 的指数：通项公式中 $q$ 的指数是 $n-1$，不是 $n$。$a_1$ 是第 1 项，对应 $q^0=1$；$a_2$ 对应 $q^1$；以此类推，$a_n$ 对应 $q^{n-1}$。

分子分母符号：$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，分子分母都是「$1-q$ 的幂」形式，符号一致。也可写成 $\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$，二者等价。

与其他知识的联系

当 $q>0$ 且 $q\ne 1$ 时，等比数列的通项 $a_n=a_1{q}^{n-1}=\frac{a_1}{q}\cdot q^n$ 具有指数函数的形式，其图象是对应指数函数图象上横坐标为正整数的一群孤立点（$q<0$ 时各项正负交替，并不与某个指数函数对应）。等比数列求和公式的思想「错位相减」是数列求和的基本方法之一，也用于推导 ${\sum }_{k=1}^{n}k{q}^k$ 等差×等比型数列的和。

当 $|q|<1$ 且 $n\to \infty$ 时，$q^n\to 0$，无穷等比数列各项和为 $S=\frac{a_1}{1-q}$，这是后续学习极限与级数的基础。