不等式思想：用「放缩」夹出最值与证明

常见表现形式

• 基本不等式求最值（和定积最大、积定和最小）
• 放缩法证明不等式
• 裂项放缩处理数列求和的界
• 柯西不等式求多元条件最值

在哪些母题中出现

• 一道题二十一种解法：x²+3xy+4y²=7 求 x+2y 的最大值
• 清华强基题：x²+y²+xy=1 求 x-y 最大值的七种解法

核心：放缩要「恰好取等」

不等式思想的全部技巧，归结为一句话：放缩的方向要对，力度要刚好让等号取到。

以基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}(a,b>0)$ 为例，求最值必须同时满足三条：

放缩的方向感

• 求最大值：把式子「放大」到一个常数，且能取等，如 $\sin x\le 1$
• 求最小值：把式子「缩小」到一个常数，且能取等，如 $x^2\ge 0$
• 证不等：沿目标方向一步步放缩，每步都不改变最终能否取等

典例精析

例 1（基本不等式求最值） 求 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 的最小值。

$x\cdot \frac{4}{x}=4$ 为定值，由基本不等式 $x+\frac{4}{x}\ge 2\sqrt{4}=4$，等号当且仅当 $x=\frac{4}{x}$ 即 $x=2$ 取到。最小值 $4$。

例 2（裂项放缩证不等） 求证 $\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<2$。

用 $\frac{1}{k^2}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}(k\ge 2)$，则

放缩成可裂项相消的形式，和立刻被「夹」出来。

辨析与提醒

• 连用不等式要验取等：$a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 与 $b+c\ge 2\sqrt{bc}$ 同时用，要确认两次取等的 $a=b$ 与 $b=c$ 能同时成立（即 $a=b=c$）。
• 取等即答案：放缩得到的界若能取到，那个取等条件就是问题的最优解——求最值问题由此从「算」变成「找取等条件」。

跨学段衔接

小学「估算」是放缩的直觉萌芽；初中「平方非负」「三角形两边之和大于第三边」是放缩的雏形；高中基本不等式、柯西不等式把放缩系统化；大学数学分析的「夹逼定理」是放缩在极限中的精密化——不等式思想贯穿「估计」这条数学主线，是把「大概」变成「恰好」的艺术。