牛吃草模型：草在长、牛在吃

求解策略

1. 设原有草量 $G$、每天长草量 $g$、每牛每天吃 $c$（常取 1）
2. 用两组已知条件列两个方程：$G+g\cdot t_1=n_1\cdot c\cdot t_1$，$G+g\cdot t_2=n_2\cdot c\cdot t_2$
3. 解方程组求 $G$、$g$
4. 代入新条件求所问（几天吃完或需几头牛）

模型结构

牛在吃、草在长，这是一个「一边进、一边出」的动态问题。不把每天长多少算进去，永远对不上。

要素	内容
场景	牛吃草、抽水机抽水同时进水、排队窗口同时来人
不变量	每头牛每天吃草量恒定；草每天匀速生长
等量关系	原有草 + 生长草 = 牛吃掉的总草

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
草地原有 120 份草	$G=120$
每天长 10 份草	$g=10$
3 头牛每头每天吃 5 份	$n=3$，$c=5$
24 天吃完	$120+10\times 24=3\times 5\times 24$

标准形：

$G+g\cdot t=n\cdot c\cdot t$

为简化计算，常设每头牛每天吃草量为 1（$c=1$），则方程变为：

$G+g\cdot t=n\cdot t$

这里把两个等式并列，只是为了写清「原有草加长出的草等于吃掉的草」。小学同学不必会解方程组，像下面典例那样用「两次总草量的差 ÷ 天数差」就能求出每天长草量；二元一次方程组要到七年级下册才正式学习。

求解步骤

1. 设元：$G$（原有草量）、$g$（每天长草量）、$c=1$（每牛每天吃草量）。
2. 列方程：两组 $(n,t)$ 条件列两个方程。
3. 解方程组：消元求出 $G$ 和 $g$。
4. 代新条件：求新安排下的天数或牛数。
5. 检验：结果代入原方程验证，确认两边相等。

典例精析

例：一片草地，10 头牛 20 天吃完，15 头牛 10 天吃完。25 头牛几天能吃完？（设每头牛每天吃 1 份草）

解：设原有草量 $G$ 份，每天长 $g$ 份。

由题意：

$G+20g=10\times 20=200$

$G+10g=15\times 10=150$

两式相减：$10g=50$，$g=5$。代入第二式：$G=150-50=100$。

25 头牛 $t$ 天吃完：

$100+5t=25t\Rightarrow 20t=100\Rightarrow t=5$

答：25 头牛 5 天吃完。

家长可以直接复述的算法：草在偷偷长，所以 10 头牛吃 20 天比 15 头牛吃 10 天多消耗了 $200-150=50$ 份，这多出来的就是 10 天长的草，每天长 5 份；原有草就是 $150-50=100$ 份。

常见变式

1. 抽水机：水池一边进水一边抽水，总量 = 原有水 + 进水量 − 抽水量。
2. 排队窗口：窗口同时有人加入队伍，类似于草在长。
3. 已知天数求牛数：解方程求 $n$。
4. 升级识别：牛的数量随时间变化或草地生长不均匀时，需分段分析；若草量只减不长（无新草），退化为基础归总问题。

对比与联系

模型	动态特征	核心方程	典型场景
牛吃草模型	一边增加一边减少	$G+g\cdot t=n\cdot c\cdot t$	草地、水池、排队
归总问题	总量不变重新分配	总量 = 每份 × 份数	分物、分配
工程问题	工作总量记为 1	工效 × 时间 = 1	修路、合作

一句话区分：牛吃草问题 = 原有量 + 每天生长量 = 每天消耗量 × 天数。比归总问题多一个「每天都在长」的动态项。