浓度模型：稀释与混合中的不变量

求解策略

1. 判断哪个量不变：稀释与蒸发抓住溶质不变，混合抓住「两份溶质之和 = 总溶质」
2. 把「溶质不变」写成方程：变化前后各算一次溶质，令其相等
3. 混合类设一份的量为 $x$，按 $c_1m_1+c_2m_2=c(m_1+m_2)$ 列方程
4. 变式识别：浓度按比例逐年变化转增长率模型；多种方案配比转方案选择模型

在哪些母题中出现

• 浓度母题：混合配比中的不变量

模型结构

浓度 = 溶质占溶液的百分比。变化过程（加水、蒸发、混合）改变的只是溶液总量，抓住「什么没变」，方程自然就列出来了。

要素	内容
场景	糖水、盐水等溶液的稀释、蒸发或两种浓度溶液的混合
不变量	稀释/蒸发时溶质质量；混合时两种溶质各自的质量
等量关系	变化前溶质 = 变化后溶质（稀释/蒸发）；$c_1{m}_1+c_2{m}_2=c(m_1+m_2)$（混合）

标准形与建模

翻译对照：

现实语言	数学语言
浓度是 20%	每 100 克溶液含 20 克溶质
加水稀释	溶质不变，溶液变多
两种溶液混合	溶质相加，溶液相加
浓度从 20% 变 15%	溶液变多的倍数 = 浓度缩小的倍数

标准形（浓度定义 + 稀释守恒）：

$\text{浓度}=\frac{\text{溶质质量}}{\text{溶液质量}}\times 100\%,c_1{m}_1=c_2{m}_2$

稀释式 $c_1{m}_1=c_2{m}_2$ 读作「变化前浓度 × 变化前溶液 = 变化后浓度 × 变化后溶液」——溶质没变，所以两边乘积相等。

求解步骤

1. 找不变量：加水、蒸发抓溶质不变；混合抓两份溶质之和。
2. 设元：混合类设其中一份溶液质量为 $x$ 克，另一份用总量表示。
3. 列方程：按标准形写出溶质守恒等式。
4. 检验并作答：浓度应在两份原浓度之间（混合浓度必夹在中间），超出即可判断列式有误。

典例精析

例 1（稀释）：把 20 克糖完全溶入 100 克水中。求糖水浓度；再加 30 克水，浓度变为多少？

解：糖水质量 $100+20=120$ 克，浓度 $20÷120\approx 16.7\%$。加 30 克水后糖水 $150$ 克，糖仍是 20 克：

$20÷150\approx 13.3\%$

家长可以直接复述的算法：糖没变、水变多，浓度被「摊薄」——分子不动，分母从 120 变 150。

例 2（混合）：用 20% 与 5% 的两种盐水配成 15% 的盐水 300 克，两种盐水各需多少克？

解：设 20% 的盐水 $x$ 克，则 5% 的为 $(300-x)$ 克。溶质守恒：

$0.2x+0.05(300-x)=0.15\times 300$

化简得 $0.15x+15=45$，解得 $x=200$。检验：$0.2\times 200+0.05\times 100=40+5=45=0.15\times 300$。答：20% 的取 200 克，5% 的取 100 克。

常见变式

1. 稀释类：把 $a\%$ 的溶液加水降到 $b\%$，加水量 $=$ 原溶液 $\times \frac{a-b}{b}$，由 $c_1{m}_1=c_2{m}_2$ 直接推出。
2. 蒸发类：方向相反，溶液变少、浓度变大，溶质仍不变，套同一个式子。
3. 混合类：两种或多种浓度溶液混合，逐份算溶质再相加；浓度必介于各份浓度之间。
4. 升级识别：浓度随期数按比例连续变化（如反复稀释）转增长率模型；在多种配比方案中选优转方案选择模型。

对比与联系

模型	变化过程	不变量	核心手法
浓度（稀释/蒸发）	加水或蒸发	溶质质量	$c_1{m}_1=c_2{m}_2$
浓度（混合）	两份溶液合并	各自溶质量	溶质相加、溶液相加
增长率	基准量按比例变化	变化前的量	$a(1+x)=b$

一句话区分：浓度问题先问「什么没变」——稀释蒸发抓溶质，混合抓两份溶质各自守恒，找到不变量就找到了方程。