《九章算术》与盈不足术：两次假设就解出未知数

背景

「今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？」

几个人合伙买东西：每人出 8 枚钱，多出 3 枚；每人出 7 枚，又差 4 枚。问几个人、东西多少钱？这是《九章算术》第七章「盈不足」的招牌题。书中给出的解法不需要设未知数：把两次假设的数「交叉相乘再相并」，答案就出来了。

史料辨析

史实 《九章算术》不是一人一时之作。它在先秦算书的基础上，经西汉张苍、耿寿昌等人整理删补，约在公元 1 世纪前后定稿；263 年刘徽作注，成为「算经十书」之首，沿用千余年。

史实 全书九章 246 题，涵盖方田（面积）、粟米（比例）、衰分（分配）、商功（体积）、盈不足、方程（线性方程组）、勾股等，其中负数与方程组消元法在当时世界领先。

史实 盈不足术经丝绸之路西传，阿拉伯数学称之为「契丹算法」（中国算法），13 世纪斐波那契《计算之书》中也有同类方法，欧洲沿用至近代。

数学内核

盈不足术的术文是「置所出率，盈、不足各居其下。令维乘所出率，并以为实；并盈、不足为法……」。用今天的记号：设两次假设为 $x_1$、$x_2$，对应盈余 $y_1$、不足 $y_2$，则

$x=\frac{x_1{y}_2+x_2{y}_1}{y_1+y_2}$

用上题验证。先求人数：每人出钱从 8 降到 7，总差额恰好把「盈 3」变成「不足 4」，故

$\text{人数}=\frac{3+4}{8-7}=7,\text{物价}=7\times 8-3=53\text{（枚）}$

盈不足术的一般形式：设两次假设为 $x_1$、$x_2$，对应盈余 $y_1$、不足 $y_2$，维乘（交叉相乘）再相并，得每人恰应出钱

$x_0=\frac{x_1{y}_2+x_2{y}_1}{y_1+y_2}=\frac{8\times 4+7\times 3}{3+4}=\frac{53}{7}$

物价 $=7\times \frac{53}{7}=53$，与前法一致。盈不足术对「两盈」「两不足」也各有对应公式（此时分子分母里的相并改为相减），原书均有术文。

为什么两次假设就够？因为「总钱数」是「每人出钱数」的一次函数：一次函数由两点唯一确定，两个试探值连同两个偏差，恰好提供了定出这条直线的全部信息。盈不足术本质上是「试位法」的祖先——方程思想在算术时代的模样。

说法与史实

流传说法	史实
《九章算术》是周朝周公所作	汉代定稿，先秦素材经数百年集体编纂，作者不可考
盈不足术只用于买东西	它是通用线性算法，能解任何一元一次问题
中国古代只有算术没有方程	《九章算术》「方程」章就是线性方程组，且有负数概念
盈不足术是中国独有的	它西传后成为阿拉伯与欧洲数学的常用方法，名「契丹算法」