田忌赛马：孙膑如何用下等马赢下整场比赛

背景

《史记·孙子吴起列传》记载：齐国将军田忌常与齐国诸公子（后世多传为齐威王）赛马，双方马分上、中、下三等，田忌每个等级的马都略逊一筹，屡战屡败。

孙膑观察后发现：三场比赛是分别对阵的，而对方的出场顺序固定按上、中、下——既然单场赢不了全部，就调整自己的出场安排，用全局最差的一场换全局最好的两场。

史料辨析

史实 《史记·孙子吴起列传》原文：「忌数与齐诸公子驰逐重射。孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈。」孙膑教田忌「以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君中驷与彼下驷」，结果「一不胜而再胜，卒得王千金」。

史实 孙膑是战国军事家孙武后世子孙，因庞涓之害受膑刑，「孙膑」之名由此而来，后来任齐国军师。他的兵法竹简于 1972 年在山东临沂银雀山汉墓出土。

有争议 《史记》原文记对阵者为「齐诸公子」，与齐威王对阵是后世通行的讲法；史书也未记载对方三匹马的出场顺序是否恰为上、中、下。数学上可以证明：只要对方按固定顺序出马，田忌总能赢两场；若对方随机出马，胜负另当别论。

数学内核

把六匹马按实力编号：齐王上 $A_1$、中 $B_1$、下 $C_1$；田忌上 $A_2$、中 $B_2$、下 $C_2$，且

$A_1>A_2>B_1>B_2>C_1>C_2$

正面对阵田忌三场全输。孙膑的对阵方案：

场次	齐王	田忌	结果
1	上马 $A_1$	下马 $C_2$	输
2	中马 $B_1$	上马 $A_2$	赢
3	下马 $C_1$	中马 $B_2$	赢

三局两胜，总比分 2:1。这一方案的妙处在于：$A_2$ 赢 $B_1$、$B_2$ 赢 $C_1$ 是田忌仅有的两个必胜对局，孙膑把它们「兑换」成了两场胜利，代价只付出一场必然的输局。

在对策论里，双方各出一份「出场顺序」，胜负由对阵表决定——这正是现代博弈论研究的双人零和对策。田忌的方案是给定齐王策略下的最优反应；1944 年冯·诺依曼与摩根斯坦建立博弈论体系后，这类「安排与反安排」问题有了系统工具。

说法与史实

流传说法	史实
田忌的马整体跑得比齐王快	《史记》明言「马足不甚相远」，各等级都略逊一筹，靠排阵取胜
孙膑是凭空虚构的人物	《史记》有传，且 1972 年银雀山汉墓出土《孙膑兵法》竹简
这是单纯的历史故事	它被公认为对策论思想的最早案例，常出现在博弈论教科书开篇
田忌每一场都想赢	关键恰是主动输掉第一场，用下马消耗对方上马