命题、定理与证明

定义

命题：判断一件事情的语句。命题由题设（已知条件）和结论（由条件推出的事项）两部分组成，通常可以写成「如果……那么……」的形式。

• 真命题：题设成立时结论一定成立；
• 假命题：题设成立时不能保证结论一定成立。

定理：经过推理证实的真命题（如对顶角相等、三角形内角和为 $180°$）。基本事实（公理）：人们在长期实践中总结出来、作为推理起点而不加证明的真命题。

证明：用已知条件、定义、基本事实、定理等，经过逻辑推理来判断一个命题真假的过程。

推导（逻辑规则与方法）

证明真命题：从题设出发，每一步推理都要有确凿依据（已知、定义、基本事实、已证定理、等式性质），逐步推出结论。例：证明「对顶角相等」——

已知：直线 $AB$、$CD$ 交于 $O$。求证：$\angle AOC=\angle BOD$。

证明：$\angle AOC+\angle AOD=180°$（邻补角定义），$\angle BOD+\angle AOD=180°$（同理），故 $\angle AOC=\angle BOD$（同角的补角相等）。$■$

判定假命题——举反例：命题「两个无理数的和仍是无理数」为假，反例 $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ 是有理数。一个反例即可推翻全称命题，因为命题要求「所有情况下成立」，只要有一次不成立就不成立。

互逆命题：命题「对顶角相等」（题设：对顶角；结论：相等）的逆命题是「相等的角是对顶角」。逆命题为假——平行直线被截出的同位角相等但不是对顶角。故原命题为真不保证逆命题为真，逆命题需要独立证明；若逆命题也为真，二者称为互逆定理（如平行线的判定与性质）。

证明的基本结构：

环节	内容
已知	命题的题设（配上图形符号语言）
求证	命题的结论
证明	一步步推理，括号内注明依据

典例精析

指出命题「同旁内角互补」的真假，若为假命题举出反例。

该命题为假，因为它漏掉了「两直线平行」这个前提。反例：任意两条不平行直线被第三条直线所截，同旁内角之和一般不等于 $180°$。

补全后的真命题是：两直线平行，同旁内角互补（平行线的性质定理）。

对比

概念	含义
基本事实	不证明，直接承认的真命题
定理	经证明的真命题
定义	对名词含义的规定，无真假之争
假命题	题设成立但结论不必然成立，一个反例即可推翻