祖暅原理：等高处横截面积相等则体积相等

背景

《九章算术》给球的体积公式是「球＝直径立方×9/16」，以今天的精确值核算约偏大 7%。三国魏刘徽 263 年注书时指出此式错误，并设计了「牟合方盖」——两根等径圆柱轴心垂直相交的公共立体。他发现球体积与方盖体积之比为 $\pi :4$，但方盖体积本身算不出来，留下难题：敢问其数，以俟能言者。

约两百年后，祖冲之、祖暅父子接棒，完成了解答。

史料辨析

史实 祖暅（祖冲之之子，亦称祖暅之）总结出「幂势既同，则积不容异」：势（形状）相同、幂（横截面积）相同，则积（体积）不容有异。据此求出球体积

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

唐朝李淳风注释《九章算术》时把祖暅「开立圆术」全文引入注文，《缀术》原书虽在唐宋间亡佚，这段文字得以传世。

史实 1635 年意大利卡瓦列里在《用连续不可分量计算几何》中提出同型原理，西方称为卡瓦列里原理，比祖暅晚约一千一百年。

有争议 学界对「幂势既同」中「势」字的解释（趋势/形状/高度）有不同意见，不影响原理内容的理解；祖暅的生卒年亦不详，据《南史》记其活动于南朝。

数学内核

原理：夹在两平行平面间的两个几何体，若任作一个与这两平面平行的平面截两体，截得两组图形面积总相等，则两体体积相等。

球的推导思路：先看半球。取半径 $r$ 的半球（平面朝下），与一个底半径 $r$、高 $r$ 的圆柱（从其中挖去一个倒圆锥：锥底是圆柱上底面、锥顶在圆柱下底中心）。对高度 $x$ 处（$0\le x\le r$）的截面做比较：

• 半球的截面是圆，半径 $\rho =\sqrt{r^2-x^2}$，面积 $S_{\text{半球}}=\pi (r^2-x^2)$
• 挖锥圆柱的截面是圆环：外圆半径 $r$；锥的截面半径为 $\frac{x}{r}\cdot r=x$（锥随高度线性张开），故环面积 $S_{\text{环}}=\pi (r^2-x^2)$

两个立体在每一高度截面积都相等，故

$V_{\text{半球}}=V_{\text{柱}}-V_{\text{锥}}=\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3⟹V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi r^3$

推导全程只用「截面积处处相等 ⇒ 体积相等」，绕开了积分符号——却与微积分里「以截面面积函数的积分求体积」完全同构。高中立体几何课本至今用它解释柱、锥、台、球的体积公式从何而来。

说法与史实