北师大版七年级下册第六章《变量之间的关系》教材同步学习指南

学习顺序

顺序上先认清变量，再依次学习三种表示。表格最具体，关系式最精确，图象最直观；三者不是替代关系，而是互相检验。

6.1 现实中的变量

在某个变化过程中，数值发生变化的量叫变量，数值始终不变的量叫常量。

两个变量之间如果有依赖关系，通常把主动变化的量叫自变量，随自变量变化而变化的量叫因变量。例如汽车匀速行驶，行驶时间 $t$ 是自变量，行驶路程 $s$ 是因变量，速度 $v$ 是常量。

自变量与因变量是相对的，要看研究的问题。同样两个量，改变研究目的，自变量和因变量可能互换。

6.2 用表格表示变量之间的关系

表格把自变量与因变量的一组组对应值列出来，优点是具体、便于查数。

读表时要看三件事：表头分别表示什么量，单位是什么，数据随自变量增大是增大、减小还是先增后减。

例如某地一天中每隔 $2$ 小时记录一次气温，表格中每一列就是一个时刻对应的气温。通过表格可以看出气温在午后达到最高，又在夜间下降。

表格的局限是只能给出有限个对应值，无法直接看出两个时刻之间的变化。

6.3 用关系式表示变量之间的关系

关系式用含自变量的代数式表示因变量，例如 $s=60t,y=2x+1,S=\pi r^2.$

关系式的优点是精确，给定自变量的值就能算出因变量的值；反过来，已知因变量的值也可以求自变量。

写关系式时先找等量关系，再把因变量单独放在等号一边。代入求值时注意单位统一，并注意自变量的取值要符合实际意义，例如时间不能为负、人数必须是整数。

6.4 用图象表示变量之间的关系

把自变量作为横轴、因变量作为纵轴，把对应的数对描成点并连线，就得到表示变量关系的图象。

读图象要按顺序做四件事：

1. 看横轴、纵轴分别表示什么量，单位是什么
2. 看起点和终点，明确研究的时间或范围
3. 看曲线的升降，描述因变量随自变量增大而怎样变化
4. 看转折点和水平段，理解每个阶段对应的实际过程

分段图象尤其要注意：每一段往往对应一个独立的过程。例如行程图象中，上升段表示离家越来越远，水平段表示停留不动，下降段表示返回。

图象的陡缓反映变化的快慢：同样的横轴范围内，曲线越陡，因变量变化越快。但读图不能只看形状，必须结合坐标轴的实际含义。

本章的三条主线结论

1. 先分清变量角色：自变量主动变化，因变量随之变化，常量保持不变
2. 三种表示各有所长：表格查值、关系式计算、图象看趋势
3. 读图先读轴：横纵轴的含义与单位决定图象的实际意义，分段处要结合情境解释

最容易被考的是从图象描述变化过程，最容易丢分的是自变量与因变量颠倒以及忽略坐标轴含义。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 汽车匀速行驶，路程 $s$ 与时间 $t$ 中，自变量是什么？——时间 $t$
2. 圆的面积 $S=\pi r^2$ 中，自变量是什么？——半径 $r$
3. 表格、关系式、图象三种表示可以互相转化吗？——可以，它们描述的是同一种关系
4. 行程图象中的水平段表示什么？——路程不变，通常表示途中停留
5. 关系式 $y=3x+2$ 中，当 $x=4$ 时 $y$ 是多少？——$y=3\times 4+2=14$
6. 图象越陡说明什么？——在相同横轴范围内，因变量变化越快

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 1、2 题出错，说明自变量与因变量的判断还需结合具体情境重练。

学完本章之后

本章是函数学习的预备：

• 八年级上册《一次函数》：本章的关系式与图象，将升级为一次函数 $y=kx+b$ 的系统研究
• 九年级上册《反比例函数》：图象从直线变为双曲线，读图方法仍然通用
• 九年级下册《二次函数》：曲线更复杂，但“看轴、看趋势、看转折”的读图框架不变
• 物理：路程与时间、电压与电流等关系，都是用变量关系描述现实世界的例子

把“找变量—写关系—画图象—读变化”这条链条走通，函数就不再抽象。