北师大版七年级下册第五章《图形的轴对称》教材同步学习指南

学习顺序

顺序上先认识对称变换，再研究三类简单轴对称图形，最后用对称解决最值问题。等腰三角形的“三线合一”是轴对称性质的直接结果。

5.1 轴对称及其性质

轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形，这条直线叫它的对称轴。

两个图形成轴对称：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，就说这两个图形成轴对称。

两者的区别在对象：轴对称图形说的是“一个图形自身的性质”，两个图形成轴对称说的是“两个图形之间的位置关系”。联系是：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

轴对称的性质：

• 对应点所连的线段被对称轴垂直平分
• 对应线段相等，对应角相等
• 对应点的连线互相平行或在同一直线上

画轴对称图形：先找关键点，再作每个关键点关于对称轴的对称点，最后按原图顺序连接。作对称点时，过点作对称轴的垂线，并在另一侧截取相等的距离。

5.2 简单的轴对称图形

线段的垂直平分线：垂直于线段并且平分线段的直线。

• 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
• 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上

角平分线：

• 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
• 判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

注意“距离”指的是点到直线的垂线段长度，使用性质时要先作出垂线。

等腰三角形：有两边相等的三角形。相等的两边叫腰，另一边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。

• 性质：等腰三角形的两个底角相等，简写为“等边对等角”
• 性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简写为“三线合一”
• 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简写为“等角对等边”

等边三角形：三边都相等的三角形。三个内角都等于 $60^{\circ }$；有一个角是 $60^{\circ }$ 的等腰三角形是等边三角形。

问题解决策略：转化。求折线路径的最小值时，常作其中一个定点关于直线的对称点，把折线转化为两点之间的线段。例如在直线 $l$ 上找一点 $P$，使 $PA+PB$ 最小：作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A^{\prime }$，连接 $A^{\prime }B$ 交 $l$ 于 $P$，此时 $PA+PB=P{A}^{\prime }+PB=A^{\prime }B$ 最小。

本章的三条主线结论

1. 对称的本质是全等：翻折后完全重合，所以对应线段相等、对应角相等
2. 两条垂直平分线性质成对用：垂直平分线上的点到两端距离相等，反之亦然；角平分线同理
3. 等腰三角形靠“三线合一”：顶角平分线、底边中线、底边高重合，是证明线段相等和垂直的常用工具

最容易被考的是等腰三角形的性质与判定，最容易丢分的是分类讨论和“三线合一”的使用前提。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 轴对称图形的对称轴是线段还是直线？——直线
2. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离有什么关系？——相等
3. 角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的距离指什么？——点到角两边的垂线段长度
4. 等腰三角形的一个底角为 $70^{\circ }$，顶角是多少？——$180^{\circ }-70^{\circ }-70^{\circ }=40^{\circ }$
5. 等腰三角形的一个角为 $100^{\circ }$，另外两个角是多少？——$100^{\circ }$ 只能是顶角，另外两角各为 $40^{\circ }$
6. 等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高有什么关系？——互相重合，即“三线合一”

答对 5 题以上，本章概念基本过关；若第 5 题出错，说明等腰三角形的分类讨论还需加强。

学完本章之后

轴对称是图形变换的第一站：

• 第六章《变量之间的关系》：本章结束后进入变量与函数，开始用运动变化的眼光看数量关系
• 八年级上册《勾股定理》：等腰三角形与直角三角形的边角计算相互结合
• 八年级下册《图形的平移与旋转》：平移、旋转与轴对称共同构成基本的图形变换
• 九年级上册《特殊平行四边形》：菱形、矩形、正方形的对称性，是本章知识的延伸

把“作对称点—找对应关系—转化路径”练熟，轴对称就不只是画图，而是解决问题的工具。