人教A版选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》教材同步学习指南

学习顺序

5.1 导数的概念及其意义

教材以两个真实问题引入：高台跳水运动员的瞬时速度与抛物线切线的斜率，共同抽象出平均变化率 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 与瞬时变化率的极限。极限存在时可导，极限值即导数 $f^{\prime }(x_0)$；对每个可导点都有导数，就得到导函数 $f^{\prime }(x)$（仍记 $y^{\prime }$）。

求切线问题的标准流程：切点 $(x_0,f(x_0))$、斜率 $f^{\prime }(x_0)$、点斜式写方程。注意「在 $P$ 点的切线」要求 $P$ 是切点；「过 $P$ 点的切线」则需另设切点 $(t,f(t))$，令切线过 $P$ 列方程解 $t$。

5.2 导数的运算

基本初等函数导数公式（定义推出，须熟记）：

四则运算法则：$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$；$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$（不是 $u^{\prime }{v}^{\prime }$！）；${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$（$v\ne 0$）。

链式法则（简单复合函数）：$y=f(g(x))$ 的导数 $y_x^{\prime }=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$，其中 $u=g(x)$。口诀「由外到内，逐层求导，相乘链接」。例如 $y=\sin (2x+1)$，则 $y^{\prime }=2\cos (2x+1)$。

5.3 导数在研究函数中的应用

单调性（5.3.1）：在区间 $(a,b)$ 内，$f^{\prime }(x)>0$ 则 $f$ 递增，$f^{\prime }(x)<0$ 则 $f$ 递减。求单调区间的程序：定义域 → 求导并因式分解 → 解 $f^{\prime }(x)>0$、$f^{\prime }(x)<0$ → 写成区间（多个增区间之间用逗号或「和」连接，不用并集符号，防止误认为整体递增）。

极值（5.3.2）：$f^{\prime }(x_0)=0$ 且导数在 $x_0$ 两侧左正右负则 $x_0$ 为极大值点，左负右正则为极小值点。$f^{\prime }(x_0)=0$ 只是必要条件，列表观察导数变号才是关键（反例 $f(x)=x^3$ 在 $x=0$）。

最值：闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数必有最大值与最小值，只须比较所有极值与端点函数值，最大者为最大值、最小者为最小值。开区间或区间含无穷时，最值未必存在，须结合单调性与极限趋势判断。

综合应用：导数还能处理函数的零点（结合单调性与零点存在性定理）、不等式证明（构造函数求最值）、恒成立求参数范围（分离参数化为最值）等，这些将在高考复习中系统展开。

本章的三条主线结论

1. 导数是极限化的变化率：瞬时速度、切线斜率同出一源，$f^{\prime }(x_0)$ 的定义式是全部理论的根基。
2. 公式加法则构成求导机器：8 个基本公式 + 四则运算 + 链式法则，足以求出中学一切初等函数的导数；运算准确率是本章的生命线。
3. 导数符号刻画函数形态：定号得单调、变号得极值、比较得最值——「先域后导、列表定号」八字流程适用于一切导数应用题。

最易错：「过点切线」不设切点、$f^{\prime }(x_0)=0$ 误判极值、单调区间漏定义域、闭区间最值漏比端点、乘除法则公式记错。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 求 $f(x)=x^3-2x$ 在 $x=1$ 处的切线方程。——$f^{\prime }(x)=3x^2-2$，$f^{\prime }(1)=1$，$f(1)=-1$，切线 $y+1=x-1$ 即 $y=x-2$。
2. 求 $y=x^2\ln x$ 的导数。——$y^{\prime }=2x\ln x+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\ln x+x$。
3. 求 $y={\mathrm{e}}^{2x+1}$ 的导数。——$y^{\prime }={\mathrm{e}}^{2x+1}\cdot 2=2{\mathrm{e}}^{2x+1}$。
4. 求 $f(x)=x^3-3x^2-9x+1$ 的单调递增区间。——$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$，$f^{\prime }(x)>0$ 得 $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$。
5. 上题函数的极大值、极小值。——$x=-1$ 处极大值 $f(-1)=6$；$x=3$ 处极小值 $f(3)=-26$。
6. 求 $f(x)=x^3-3x$ 在 $[0,2]$ 上的最大值与最小值。——$f^{\prime }(x)=3x^2-3$，区间内驻点 $x=1$；比较 $f(0)=0$、$f(1)=-2$、$f(2)=2$，最大值 $2$、最小值 $-2$。

第 1 题出错说明切线流程不熟；第 2、3 题出错说明乘法与链式法则不过关；第 4、5 题出错说明「列表定号」流程没掌握；第 6 题出错说明闭区间最值漏了比较端点。

7.（综合）求曲线 $y=\ln x$ 过点 $(0,1)$ 的切线方程。——设切点 $(t,\ln t)$，切线 $y-\ln t=\frac{1}{t}(x-t)$，过 $(0,1)$ 得 $1-\ln t=-1$，$t={\mathrm{e}}^2$；切线 $y=\frac{1}{{\mathrm{e}}^2}x+1$。注意：$(0,1)$ 不在曲线上，必须设切点。

学完本章之后

• 高考压轴：导数综合题（单调性讨论、极值最值、零点、不等式恒成立）是高考数学的压轴主力，本章基本功直接决定得分上限。
• 大学衔接：导数是微积分的入口，后续将学习微分、积分与级数；本章「以直代曲」「无限逼近」的极限思想是高等数学的灵魂。
• 物理与工程：速度加速度、边际成本、优化设计（材料最省、效率最高）都是导数的直接应用。

一句口诀收尾：平均变化取极限，导数即是瞬时率；几何切线物理速，定义式里藏全部；八式法则加链式，求导机器要熟练；先域后导列定号，单调极值最值出。