切线的判定与性质

定义

性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

判定定理里藏着三个条件，缺一个都不行：

1. 直线过半径的外端（端点 $A$ 在圆上）
2. 直线与这条半径垂直
3. 这条半径必须经过切点（连的是圆心与切点，不是随便一条半径）

性质与判定是一对互逆命题，方向不能混：性质是「已知切线 → 得到垂直」，判定是「已知垂直（且过半径外端）→ 得到切线」。题目里「证切线」用判定，「用切线」用性质。

位置关系判据：圆心到直线距离为 $d$、半径为 $r$，则

$d<r\text{相交},d=r\text{相切},d>r\text{相离}$

可见切线是「距离恰好等于半径」的直线，与圆只有一个公共点（切点）。这一条把切线问题统一成了距离问题。

证明切线的两种思路

情形	做法	口诀
已知直线与圆有公共点	连接圆心与公共点，证这条半径 ⊥ 直线	有交点，连半径，证垂直
直线与圆有没有交点不知道	过圆心作直线的垂线，证垂线段长 = 半径	无交点，作垂直，证半径

第一种情形最常用：题目给了「直线过圆上某点」，就把这点与圆心连起来，设法证明直角。第二种用于「要证的切点未知」，例如证「圆与某直线相切」而切点没标出来。

推导

性质（切线 ⊥ 过切点半径）：直线 $l$ 切 $\odot O$ 于 $A$，求证 $l\perp OA$。

反证：假设 $l$ 不垂直于 $OA$，过 $O$ 作 $OP\perp l$ 于 $P$（$P$ 与 $A$ 不重合）。

由「垂线段最短」：$OP<OA=r$，即圆心到直线距离小于半径，直线 $l$ 与圆相交，应有两个公共点，与「$l$ 是切线只有一个公共点」矛盾。

故 $l\perp OA$。$■$

判定：直线 $l$ 过半径 $OA$ 的外端 $A$，且 $l\perp OA$，求证 $l$ 是切线。

$l$ 上任取异于 $A$ 的点 $P$。Rt$△OAP$ 中斜边 $OP>OA=r$，即 $l$ 上除 $A$ 外的所有点到圆心距离都大于 $r$，都不在圆内。

故 $l$ 与 $\odot O$ 只有一个公共点 $A$，$l$ 是切线。$■$

典例精析

在 $△ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，以 $BC$ 为直径作 $\odot O$（$O$ 为 $BC$ 中点），求证：$AC$ 与 $\odot O$ 相切。

$BC$ 是直径，故 $C$ 在 $\odot O$ 上，$OC$ 是半径；又 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $AC\perp BC$，而 $OC$ 在直线 $BC$ 上，故 $AC\perp OC$。

直线 $AC$ 经过半径 $OC$ 的外端 $C$，且垂直于 $OC$。由判定定理，$AC$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $C$。$■$

例 2（无交点类型）：在 Rt$△ABC$ 中，$\angle C=90^{\circ }$，$AC=3$、$BC=4$，以 $C$ 为圆心作圆，要使圆与斜边 $AB$ 相切，求半径 $r$。

切点未知，属「无交点」情形：过 $C$ 作 $CD\perp AB$ 于 $D$。$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$，由面积法

$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot CD⟹CD=\frac{12}{5}$

当 $r=CD=\frac{12}{5}$ 时，圆心到 $AB$ 的距离等于半径，圆与 $AB$ 相切。

这题把「证切线」与「直线与圆的位置关系」连了起来：判定 $d=r$ 其实就是证切线，二者是同一件事。

对比

	性质	判定
条件	切线 + 切点	过半径外端 + 垂直
结论	⊥ 过切点半径	是切线
用途	已知切线得直角	证切线得切点
辅助线	连切点与圆心	连半径证垂直

与其他知识的联系

切线是「直线与圆的位置关系」这一节里最重要的一条：当 $d=r$ 时直线与圆相切，而「垂直」正是把距离关系翻译成角度关系的桥梁。

它的上下游都很明确：往上，性质给出「切线 → 直角」，于是切线与勾股定理、直角三角形全等接上了；往下，切线的两条性质会合流成切线长定理（从圆外一点引两条切线，切线长相等），课外拓展中的弦切角、圆幂定理也都以切线为基础。切线还是圆的轴对称性的直接体现——过切点作直径，直径所在直线就是图形的对称轴。