人教A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》教材同步学习指南

学习顺序

1.1 空间向量及其运算

概念：与平面向量相同，空间向量有大小（模）和方向，用有向线段表示。线性运算（加、减、数乘）法则与平面向量一致，满足交换律、结合律、分配律。

共线与共面：$\vec{b}$ 与非零向量 $\vec{a}$ 共线 ⇔ 存在实数 $\lambda$ 使 $\vec{b}=\lambda \vec{a}$；三向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 共面 ⇔ 存在实数 $x,y$ 使 $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$（$\vec{a},\vec{b}$ 不共线）。

数量积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，性质与平面向量相同：$\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$；$|\vec{a}{|}^2=\vec{a}\cdot \vec{a}$。

1.2 空间向量基本定理

若 ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$ 是空间内三个不共面向量，则对空间任一向量 $\vec{a}$，存在唯一实数组 $(x,y,z)$ 使

$\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\}$ 称为空间向量的基底。这是建立空间直角坐标系的理论基础。

1.3 空间向量及其运算的坐标表示

空间直角坐标系：取互相垂直的三条数轴 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴（右手系），交于原点 $O$。空间任一点 $P$ 对应唯一有序数组 $(x,y,z)$，向量 $\overrightarrow{OP}$ 的坐标也是 $(x,y,z)$。

坐标运算：设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$、$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则

垂直条件：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2=0$。

1.4 空间向量的应用

用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定线线、线面、面面的平行与垂直（1.4.1）；在此基础上计算空间距离与夹角（1.4.2）。

点到平面的距离：设平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$，$A$ 是 $\alpha$ 内任一点，$P$ 是平面外一点，则

线线角：两异面直线所成角 $\theta \in (0,90^{\circ }]$，等于它们方向向量 ${\vec{v}}_1,{\vec{v}}_2$ 所成角（或其补角）的余弦绝对值：$\cos \theta =\frac{|{\vec{v}}_1\cdot {\vec{v}}_2|}{|{\vec{v}}_1||{\vec{v}}_2|}$。

线面角：直线与平面所成角 $\theta \in [0,90^{\circ }]$，等于直线方向向量 $\vec{v}$ 与平面法向量 $\vec{n}$ 所成角的余角：$\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。

二面角：范围 $[0,180^{\circ }]$。求两平面法向量 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2$ 的夹角 $\phi$，则二面角 $\theta =\phi$ 或 $\theta =180^{\circ }-\phi$，由图形判断是锐角还是钝角。$\cos \phi =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$。

本章的三条主线结论

1. 向量法是立体几何的代数化工具：建系 → 坐标 → 运算 → 结论，程序化解题。
2. 数量积是核心：垂直条件、模长、夹角都由数量积导出。
3. 法向量是关键：求线面角、二面角、点到平面距离都需先求平面法向量（平面内两不共线向量的叉积或用垂直条件列方程）。

最易错：线面角与二面角的范围与定义、法向量求错、距离公式记错、二面角锐钝判断失误。

自测

先自己判断，再看答案：

1. 设 $\vec{a}=(1,2,3)$、$\vec{b}=(2,-1,1)$，求 $\vec{a}+\vec{b}$、$\vec{a}\cdot \vec{b}$、$|\vec{a}|$。——$(3,1,4)$；$2-2+3=3$；$\sqrt{14}$。
2. 判断：若 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，则 $\vec{a}=\vec{0}$ 或 $\vec{b}=\vec{0}$。——错，两非零向量垂直时数量积也为零。
3. 正方体棱长为 1，求体对角线长。——$\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$。
4. 平面法向量 $\vec{n}=(1,1,1)$，点 $P(1,0,0)$ 到平面 $x+y+z=0$ 的距离。——$d=\frac{|1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
5. 直线方向向量 $\vec{v}=(1,1,0)$，平面法向量 $\vec{n}=(0,0,1)$，求线面角。——$\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}=\frac{0}{\sqrt{2}}=0$，$\theta =0$（直线在平面内或平行于平面）。
6. 两平面法向量 ${\vec{n}}_1=(1,0,0)$、${\vec{n}}_2=(1,1,0)$，求二面角。——$\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\phi =45^{\circ }$；若二面角为锐角则为 $45^{\circ }$，钝角则为 $135^{\circ }$。

第 4、5、6 题出错说明距离、线面角、二面角公式不熟；第 2 题出错说明数量积性质理解不透。

学完本章之后

• 选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》、第三章《圆锥曲线的方程》：直线与圆、圆锥曲线都可用向量工具处理，数量积坐标公式是核心。
• 高考：立体几何大题第二问（求线面角、二面角、距离）几乎必用向量法，本章是得分关键。
• 物理与工程：空间力系、刚体运动、机器人运动学都依赖空间向量。

一句口诀收尾：空间向量三维化，坐标运算是关键；数量积里藏垂直，法向量求角与距；线面角用正弦算，二面角看锐钝；建系坐标套公式，几何问题代数化。