等腰梯形的性质与判定

定义

等腰梯形：两腰相等的梯形。

性质：同一底上的两个内角相等；两条对角线相等。

判定：

1. 两腰相等的梯形（定义）
2. 同一底上两个角相等的梯形
3. 对角线相等的梯形

梯形中位线定理：梯形的中位线（两腰中点的连线）平行于两底，且等于两底和的一半：

$m=\frac{a+b}{2}$

推导

性质：同一底上的两角相等。等腰梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$、$AB=CD$。分别过 $A、D$ 作 $AE\perp BC$、$DF\perp BC$，垂足 $E、F$。

由 $AD\parallel BC$，两条高相等 $AE=DF$（平行线间距离处处相等）。在 Rt$△ABE$ 与 Rt$△DCF$ 中：

$\{\begin{array}{l}AB=DC\\ AE=DF\end{array}$

由 HL 得两直角三角形全等，故 $\angle B=\angle C$。$■$

性质：对角线相等。在 $△ABC$ 与 $△DCB$ 中：$AB=DC$、$\angle ABC=\angle DCB$、$BC=CB$，由 SAS 全等得 $AC=DB$。$■$

判定 3（对角线相等的梯形）：梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$、$AC=BD$。作 $AE\perp BC$、$DF\perp BC$，$AE=DF$。由 HL 得 Rt$△AEC\cong$ Rt$△DFB$，故 $EC=FB$；两边同减（或加）公共段 $EF$ 得 $BE=CF$。此时两直角三角形的两条直角边对应相等（$AE=DF$、$BE=CF$，夹角均为 $90^{\circ }$），再用 SAS 得 Rt$△ABE\cong$ Rt$△DCF$，故 $AB=DC$，是等腰梯形。$■$

中位线定理：设 $E、F$ 为两腰中点。连结 $AF$ 并延长交 $BC$ 延长线于 $G$。由 $AD\parallel CG$ 得 $\angle DAF=\angle CGF$、$\angle ADF=\angle GCF$，又 $DF=CF$，由 AAS 得 $△ADF\cong △GCF$，故 $AD=CG$、$AF=GF$（$F$ 为 $AG$ 中点）。在 $△ABG$ 中 $EF$ 是中位线：

$EF=\frac{1}{2}BG=\frac{1}{2}(BC+CG)=\frac{1}{2}(BC+AD)■$

典例精析

等腰梯形 $ABCD$ 中 $AD\parallel BC$，$AD=3$、$BC=7$，腰 $AB=CD=\sqrt{13}$，求高与面积。

作两条高，底边两侧各伸出 $\frac{7-3}{2}=2$。高：

$h=\sqrt{A{B}^2-2^2}=\sqrt{13-4}=3$

面积：$S=\frac{(3+7)\times 3}{2}=15$（或中位线 $5\times$ 高 $3$）。

对比

图形	对边平行	角	对角线
平行四边形	两组	对角相等	互相平分
矩形	两组	四角直角	相等且平分
等腰梯形	一组	同底角相等	相等（不平分）