角的概念与度分秒

定义

角（静态定义）：有公共端点的两条射线组成的图形。公共端点叫顶点，两条射线叫角的两边。

动态定义：一条射线绕端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。旋转到与起始边成一条直线时为平角（$180°$），旋转一周回到起始边时为周角（$360°$）。

表示方法：$\angle AOB$（三字母，顶点在中）、$\angle O$（顶点处仅一个角）、$\angle 1$、$\angle \alpha$。

角度制：把周角等分 360 份，每份为 $1^{\circ }$；$1$ 个周角为 $360^{\circ }$，$1$ 个平角为 $180^{\circ }$。度、分、秒之间的换算为

$1^{\circ }=60^{\prime },1^{\prime }=60^{\prime \prime }$

推导（换算规则）

度、分、秒之间是六十进制，换算原则：

• 高化低：逐级乘 $60$，如 $2°=2\times 60^{\prime }=120^{\prime }$；
• 低聚高：逐级除以 $60$，如 $36^{\prime \prime }=0.6^{\prime }$。

加减运算：同级分别相加减，满 $60$ 向高一级进 $1$；不够减则向高一级借 $1$ 当 $60$。例如计算 $90°-32°45^{\prime }$：

$90°=89°60^{\prime }⟹89°60^{\prime }-32°45^{\prime }=57°15^{\prime }$

倍分运算：分别乘除并处理进位，如

$18°24^{\prime }\times 3=54°72^{\prime }=55°12^{\prime }$

$■$

角的和差与平分线：从一个角的顶点出发把它分成两个相等角的射线叫角平分线。若 $OC$ 平分 $\angle AOB$，则

$\angle AOC=\angle COB=\frac{1}{2}\angle AOB,\angle AOB=2\angle AOC$

这与线段中点的倍分结构完全对应：一个分线段、一个分角。写的时候同样有三种等价形式（两小角相等、小角等于大角一半、大角等于小角两倍），按需选用。$■$

度分秒的三类计算

一、高化低（乘 $60$）：把度的小数部分化成分，分的小数部分化成秒。

$35.5^{\circ }=35^{\circ }+0.5\times 60^{\prime }=35^{\circ }30^{\prime }$

二、低聚高（除以 $60$）：把秒聚成分、分聚成度，通常先化成小数再除。

$36^{\prime \prime }={\frac{36}{60}}^{\prime }=0.6^{\prime }$

三、加减运算（满 $60$ 进 $1$，不够减借 $1$ 当 $60$）：同级分别加减，再逐级处理进位借位。

$90^{\circ }-32^{\circ }45^{\prime }=89^{\circ }60^{\prime }-32^{\circ }45^{\prime }=57^{\circ }15^{\prime }$

最容易写错的是第三类里的「借位」：$90^{\circ }$ 要写成 $89^{\circ }60^{\prime }$，不能写成 $89^{\circ }100^{\prime }$（分是六十进制，借 $1$ 度得 $60$ 分，不是 $100$ 分）。同理 $1.5^{\circ }$ 是 $1^{\circ }30^{\prime }$，不是 $1^{\circ }{5}^{\prime }$。

角的比较与钟表问题

比较两个角的大小有两种方法：度量法（量出度数比大小）与叠合法（顶点与一边重合，看另一边落在内部还是外部）。

钟表是角度的经典应用场景，因为指针每分钟转过的角度是固定的：

• 分针每分钟转 $6^{\circ }$（一小时转 $360^{\circ }$）
• 时针每分钟转 $0.5^{\circ }$（一小时转 $30^{\circ }$）

所以 $h$ 点 $m$ 分时，时针与分针的夹角为

$|30h+0.5m-6m|=|30h-5.5m|$

若算出的值大于 $180^{\circ }$，应取 $360^{\circ }$ 减去它（夹角取较小的那个）。例如 $3$ 点整：$|30\times 3-0|=90^{\circ }$，正是直角。

典例精析

计算：$56^{\circ }32^{\prime }15^{\prime \prime }+27^{\circ }45^{\prime }50^{\prime \prime }$。

秒：$15^{\prime \prime }+50^{\prime \prime }=65^{\prime \prime }=1^{\prime }{5}^{\prime \prime }$；分：$32^{\prime }+45^{\prime }+1^{\prime }=78^{\prime }=1^{\circ }18^{\prime }$；度：$56^{\circ }+27^{\circ }+1^{\circ }=84^{\circ }$。结果为 $84^{\circ }18^{\prime }{5}^{\prime \prime }$。

再练一道除法：计算 $100^{\circ }÷3$。

先把高位除不尽的部分化到低位：$100^{\circ }÷3=33^{\circ }$ 余 $1^{\circ }$，把余下的 $1^{\circ }$ 化成 $60^{\prime }$ 再除以 $3$ 得 $20^{\prime }$，故结果为 $33^{\circ }20^{\prime }$。挨级处理余数，是除法题的关键。

与其他知识的联系

角的概念是后面所有角推理的起点：余角与补角说的是两个角的和为 $90^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$；平行线的判定与性质比较的是三类位置角的度数关系；三角形内角和与外角定理则把角的关系推广到多边形。

度分秒本身在八年级之后会慢慢淡出（更多用小数度或弧度），但它训练的「不同进制的进位借位」这一件事，在学习时间与角度换算时同样用得上。

对比

比较	线段	角
基本量	长度（十进制为主）	度分秒（六十进制）
平分	中点	角平分线
关系	和、差、倍、分	和、差、倍、分
比较法	度量法、叠合法	度量法、叠合法