平行线等分线段定理

定义

平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。

三角形中的推论：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，必平分第三边。

推导

一般形式（三条平行线）：$l_1\parallel l_2\parallel l_3$，在直线 $a$ 上截得 $AB=BC$，在直线 $b$ 上截得 $DE、EF$，求证 $DE=EF$。

过 $D、E$ 分别作直线 $a$ 的平行线（即平行于 $AC$），交 $l_2$、$l_3$ 于 $P$、$Q$，则四边形 $ABPD$、$BCQE$ 都是平行四边形（两组对边平行）：

$DP=AB,EQ=BC$

由 $AB=BC$ 得 $DP=EQ$。在 $△DEP$ 与 $△EFQ$ 中：

• $\angle PDE=\angle QEF$（两直线平行，同位角相等）；
• $\angle DEP=\angle EFQ$（同理）；
• $DP=EQ$。

由 AAS 得 $△DEP\cong △EFQ$，故 $DE=EF$。$■$

三角形推论：$△ABC$ 中 $D$ 为 $AB$ 中点，$DE\parallel BC$ 交 $AC$ 于 $E$。把 $AB$、$AC$ 看作被一组平行线所截的两条直线：过 $A$ 作直线平行于 $BC$，它与 $DE$、$BC$ 组成三条平行线。这组平行线在 $AB$ 上截得 $AD=DB$，由定理，在 $AC$ 上截得的线段也相等，即 $AE=EC$，$E$ 为 $AC$ 中点。$■$

梯形推论（拓展）：梯形中过一腰中点且平行于两底的直线，必过另一腰中点（同样由本定理），这正是梯形中位线的存在依据。（2024 审定版教材已不单独讲梯形与梯形中位线，本结论仅作拓展了解。）

典例精析

例 1（尺规等分）用尺规把线段 $AB$ 五等分。

过 $A$ 作任意射线 $AX$，在 $AX$ 上用圆规顺次截取等长线段 $A{C}_1=C_1{C}_2=C_2{C}_3=C_3{C}_4=C_4{C}_5$，连 $C_{5}B$，过 $C_1$、$C_2$、$C_3$、$C_4$ 分别作 $C_{5}B$ 的平行线交 $AB$ 于各点，由定理这些交点把 $AB$ 五等分。

例 2（三角形中点推论）$△ABC$ 中，$D$ 为 $AB$ 中点，过 $D$ 作 $DE\parallel BC$ 交 $AC$ 于 $E$，已知 $AC=10$，求 $AE$、$EC$。

由三角形推论（过一边中点且平行于另一边的直线平分第三边），$E$ 为 $AC$ 中点：

$AE=EC=\frac{AC}{2}=5$

两个条件缺一不可：必须「过中点」+「平行」。只过中点但不平行，或只平行但不过中点，都不能保证 $E$ 是中点。

对比

定理	条件	结论
等分线段	截得的线段相等	其他截线也被等分
分线段成比例	截得的线段比为定值	其他截线按同比截
中位线	连接两边中点	平行第三边且等于一半

与其他知识的联系

• 平行线分线段成比例：本定理是成比例定理在比值等于 $1$ 时的特例，证明同样依赖平行线截出的全等（或相似）三角形。
• 三角形中位线：中位线定理（连接两边中点）与本定理的三角形推论互为补充：中位线谈”位置与长度”，本推论谈”过中点平行线平分第三边”。
• 平行四边形：一般形式的证明通过构造平行四边形把「等线段」转移到同一三角形内，平行四边形的对边相等是关键桥梁。
• 尺规作图：任意等分线段的尺规作法正是本定理的典型应用，也是「过直线外一点作平行线」作图题的延伸。