三角不等式（向量与复数的模）

推导

由数量积展开：

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}$

而 $\vec{a}\cdot \vec{b}\le |\vec{a}||\vec{b}|$（柯西不等式），所以

$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2\le |\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+2|\vec{a}||\vec{b}|=(|\vec{a}|+|\vec{b}|{)}^2$

两边开方（均非负）得 $|\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$，等号当 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|$，即两向量同向。

把 $\vec{b}$ 换成 $-\vec{b}$ 得差的形态；两式相减整理得下界 $||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}\pm \vec{b}|$。$■$

典例精析

例：已知正数 $x,y$ 满足 ${\left(x+\frac{3y}{2}\right)}^2+\frac{7y^2}{4}=7$，求 $x+2y$ 的最大值。

构造

$\vec{m}=\left(x+\frac{3y}{2},\frac{\sqrt{7}y}{2}\right),\vec{n}=\left(1,\frac{1}{\sqrt{7}}\right)$

则 $|\vec{m}|=\sqrt{7}$，$|\vec{n}|=\sqrt{\frac{8}{7}}$。展开和向量模平方：

$|\vec{m}+\vec{n}{|}^2={\left(x+\frac{3y}{2}+1\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{7}y}{2}+\frac{1}{\sqrt{7}}\right)}^2=\frac{57}{7}+2(x+2y)$

由三角不等式：

$\frac{57}{7}+2(x+2y)\le {\left(\sqrt{7}+\sqrt{\frac{8}{7}}\right)}^2=\frac{57}{7}+4\sqrt{2}$

故 $x+2y\le 2\sqrt{2}$，等号当两向量同向，即 $x=2y$。

对比