复数的概念与运算

定义

复数：形如 $z=a+bi$（$a,b\in \mathbb{R}$）的数叫复数。其中 $i$ 叫虚数单位，满足 $i^2=-1$。

• $a$ 叫复数 $z$ 的实部，记 $\text{Re}(z)=a$；
• $b$ 叫复数 $z$ 的虚部，记 $\text{Im}(z)=b$。

复数分类：

条件	名称
$b=0$	实数（$z=a$）
$b\ne 0$	虚数
$a=0,b\ne 0$	纯虚数

复数相等：$a+bi=c+di\iff a=c$ 且 $b=d$（$a,b,c,d\in \mathbb{R}$）。

共轭复数：$z=a+bi$ 的共轭复数为 $\bar{z}=a-bi$。

复平面：建立直角坐标系，$x$ 轴叫实轴、$y$ 轴叫虚轴，复数 $z=a+bi$ 与点 $Z(a,b)$ 一一对应。

推导

复数运算（$a,b,c,d\in \mathbb{R}$）：

1. 加法：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$；
2. 减法：$(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$；
3. 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2=(ac-bd)+(ad+bc)i$（用 $i^2=-1$）；
4. 除法：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$（分母有理化）。

复数的模：$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$，几何意义为复平面上点 $Z(a,b)$ 到原点距离。

模的性质：

• $|z|\ge 0$，$|z|=0\iff z=0$；
• $|z{|}^2=z\bar{z}$；
• $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$；
• $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$（三角形不等式）。

典例精析

例 1：化简 $(2+3i)(1-2i)$。

$(2+3i)(1-2i)=2\times 1-2\times 2i+3i\times 1-3i\times 2i=2-4i+3i-6i^2=2-i+6=8-i$。

例 2：已知复数 $z=(m^2-3m+2)+(m^2-1)i$，问 $m$ 为何值时 $z$ 为实数、纯虚数。

• $z$ 为实数 $\iff m^2-1=0$，$m=\pm 1$；
• $z$ 为纯虚数 $\iff m^2-3m+2=0$ 且 $m^2-1\ne 0$，即 $m=1$ 或 $m=2$ 且 $m\ne \pm 1$，故 $m=2$。

例 3：计算 $\frac{3+4i}{1-2i}$。

$\frac{3+4i}{1-2i}=\frac{(3+4i)(1+2i)}{1^2+2^2}=\frac{3+6i+4i+8i^2}{5}=\frac{3+10i-8}{5}=\frac{-5+10i}{5}=-1+2i$

对比

项目	实数 $a$	复数 $a+bi$
范围	$\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$	$\mathbb{C}$
几何表示	数轴上的点	复平面上的点
模	$|a|$（绝对值）	$\sqrt{a^2+b^2}$（到原点距离）
大小比较	可比较	不可比较（仅模可比较）
乘积模	$|ab|=|a||b|$	$|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$