旋转的性质

定义

旋转：把一个图形绕某一点 $O$ 转动一个角度的变换。三要素：旋转中心 $O$、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。转动后重合的点互称为对应点。

三要素缺一不可：只说「旋转 $60^{\circ }$」而不给中心与方向，图形可能被转到完全不同的两个位置。解题时也习惯性追问这三句——已知的是哪几个，缺的是哪个。

旋转中心的位置没有任何限制，它可以在图形外部、边上，也可以在图形内部（如等边三角形绕自身的一个顶点旋转）。

推导（性质）

设点 $A$、$B$ 绕 $O$ 旋转角 $\theta$ 后的对应点为 $A^{\prime }$、$B^{\prime }$。

性质 1：对应点到旋转中心的距离相等。旋转是刚性转动，点在以 $O$ 为圆心的圆弧上滑动，半径不变：

$OA=O{A}^{\prime },OB=O{B}^{\prime }$

性质 2：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：

$\angle AO{A}^{\prime }=\angle BO{B}^{\prime }=\theta$

性质 3：旋转前后图形全等。证明对应边相等：在 $△OAB$ 与 $△O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 中：

$\{\begin{array}{l}OA=O{A}^{\prime }\\ OB=O{B}^{\prime }\\ \angle AOB=\angle A^{\prime }O{B}^{\prime }\end{array}$

其中第三个条件由「两边同时加上公共角 $\angle A^{\prime }OB$」得到。

由 SAS 得 $△OAB\cong △O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$，故 $AB=A^{\prime }{B}^{\prime }$，对应角也相等。图形中所有点同理，整体全等。$■$

一条容易漏的性质

性质 4：两条对应线段所在直线的夹角也等于旋转角（或其补角）。理由是两条线同时转过了同样的角度。求对应线段延长后的夹角时用的就是这一条。

怎么找旋转中心

旋转中心到一对对应点的距离相等，所以它必定在这对对应点连线的垂直平分线上。取两对对应点，分别作连线的垂直平分线，交点即为旋转中心——这与找对称轴的步骤完全平行。

旋转 180°：中心对称

旋转角为 $180^{\circ }$ 时，对应点与中心共线且分居两侧，这正是中心对称。所以中心对称是旋转的一个特殊情形，不必另记一套性质。

旋转对称图形

一个图形绕某点旋转一定角度后能与自身重合，就称它具有旋转对称性。正 $n$ 边形绕中心旋转 $\frac{360^{\circ }}{n}$ 的整数倍都能与自身重合，例如正六边形绕中心旋转 $60^{\circ }$ 即重合。

典例精析

$△ABC$ 为等边三角形，$△ABD$ 旋转后与 $△ACE$ 重合，指出旋转中心和旋转角。

公共不动点是 $A$，故旋转中心为 $A$；$AB$ 旋转到 $AC$，等边三角形中 $\angle BAC=60^{\circ }$，故旋转角为 $60^{\circ }$。

（等边三角形绕中心旋转 $120^{\circ }$ 与自身重合，这是旋转对称性；正方形绕中心旋转 $90^{\circ }$ 与自身重合。）

再练一道用性质 1 的：把线段 $AB$ 绕端点 $A$ 逆时针旋转 $90^{\circ }$ 到 $A{B}^{\prime }$，已知 $AB=3$，求点 $B$ 扫过的路径长度。

点 $B$ 沿以 $A$ 为圆心、半径 $3$ 的圆弧移动，转过的圆心角为 $90^{\circ }$，故路径长为

$\frac{90}{360}\cdot 2\pi \cdot 3=\frac{3\pi }{2}$

这类「扫过的路径长」与「扫过的面积」问题，本质都是扇形计算，只是半径由「旋转点到中心的距离」给出。

对比

变换	要素	不变量
平移	方向、距离	形状、大小、朝向
轴对称	对称轴	形状、大小（朝向翻转）
旋转	中心、方向、角度	形状、大小；对应点到中心的距离
位似	中心、相似比	形状（大小缩放）

与其他知识的联系

旋转是三种全等变换（平移、轴对称、旋转）中的一种，与另两者一样保持形状和大小不变，所以旋转问题最终都能化成全等问题来处理。

它最常见的用途是构造：把分散的条件集中起来。把一个三角形绕它的顶点旋转，常能让两条原本不在一处的线段首尾相接，从而凑出全等或特殊的角——这是几何综合题里最常见的辅助手段之一。

往后，旋转角为 $180^{\circ }$ 给出中心对称；而在相似之后，「旋转」与「相似」会以旋转相似的形式结合起来，成为一类固定模型。