分段计费：水电气、出租车与阶梯价里的分段函数

分段计费是把用量按区间切开、各段不同单价的收费方式，如出租车起步价＋里程价、阶梯水价。它的数学骨架是分段函数：不同区间对应不同解析式。

生活场景：出租车计价、阶梯水电气价、快递分段运费、个税分级税率：用量越大单价越高（或越高档），同一张账单里出现两种以上单价。

数学关联：每段区间对应一个一次式，合起来就是分段函数 $y=\begin{cases}k_1x+b_1&0\le x\le a\\k_2x+b_2&x>a\end{cases}$；账单金额是用量的分段函数，图象为折线。

适用前提与边界条件

解分段计费题只有两步：

$y = {3 x 60 + 5 (x - 20) 0 \leq x \leq 20 x > 20$

注意第二段写的是 $60 + 5 (x - 20)$ 而不是 $5 x$ —— $x$ 里前 20 吨已经按 3 元结清了。

「3 km 以内 10 元」的 $x = 3$ 属于第一段；「超过 3 km 的部分每 km 2 元」意味着 $x = 3$ 时第二段费用为 0。两个解析式在端点处算出同一个值，图象恰好接上——这是检验列式是否正确的土办法：把端点代入两段式，结果应相等。

知道费用求用量，先判断落在哪段：算一下「第一段封顶价」。账单 85 元，第一阶梯封顶 $20 \times 3 = 60$ 元， $85 > 60$ 落在第二段，于是 $(85 - 60) \div 5 + 20 = 25$ 吨。先定位、再求解，顺序不能反。

分段计费问题列式的通法是什么？

先判断用量落在哪一段，再「前段封顶费用＋超出部分×本段单价」。写成分段函数就是分区间各写一次式。

分段函数是一个函数还是几个函数？

是一个函数。它只是「在不同区间用不同解析式」的同一个对应关系，每个输入仍只有一个输出。

阶梯电价为什么要这样设计？

用价格杠杆鼓励节约：基本用量低价保障民生，超出部分加价抑制浪费。折线的「越来越陡」正对应这一意图。