方案选择问题一般怎么入手？

设同一自变量（数量、时间、里程），把两种方案费用分别写成一次函数，令二者相等求分界点，再结合区间比较或画图象判断。

分段函数是一个函数还是几个函数？

是一个函数，只是在自变量不同区间有不同对应关系；写解析式用大括号连列并标注范围。

调运（统筹）问题为什么最优总在端点取到？

总费用是关于调配数量的一次函数，在可行区间内单调，最值只能在区间端点取得。

一次函数的实际应用

两个量成均匀变化时建立 y=kx+b 模型；方案比较写两个一次函数比大小，分段计费按区间分别列式，调运问题用一次函数在端点取最优。

定义

实际问题中一个量随另一个量均匀变化（每增加一个单位，改变量恒定），建立一次函数模型 $y = k x + b$ ： $k$ 是单位变化量（斜率）， $b$ 是初始值（截距）。三类典型情境：

方案选择：两种收费（租赁、购票、运输）方案各写一个一次函数，按自变量范围取费用小的；
分段计费：出租车、水电阶梯价、个税等，按区间列分段函数：

$y = {b_{1}, k x + c, 0 \leq x \leq a x > a$

物资调运：总运费关于调配数量 $x$ 是一次函数，配合 $x$ 的可行区间求最优调运方案。

推导

方案分界点：设两方案费用 $y_{1} = k_{1} x + b_{1}$ 、 $y_{2} = k_{2} x + b_{2}$ 。令 $y_{1} = y_{2}$ ：

$k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2} ⟹ x_{0} = \frac{b _{2} - b _{1}}{k _{1} - k _{2}}$

$x_{0}$ 是费用相同的临界数量。因两函数都是直线，在 $x_{0}$ 两侧上下关系固定（差为一次式，至多变号一次），故只需在各区间任取一点比较，就能判断 $x$ 少于 $x_{0}$ 与多于 $x_{0}$ 时分别该选哪个方案（斜率大的方案过了交点后费用反超）；图象上表现为两条直线交点两侧谁在下方。 $■$

分段函数求值：先判断自变量落在哪一段，再代入该段解析式。分段处连续的计费模型（如里程恰为起步里程），两段在端点算出同一费用。

调运问题的端点最优：设从甲仓调 $x$ 吨到某地，受库存与需求限制 $x$ 有可行区间 $[x_{m i n}, x_{m a x}]$ 。总运费 $y = k x + b$ 是一次函数，其图象是直线段，单调递增则 $x_{m i n}$ 最优、单调递减则 $x_{m a x}$ 最优，故最优解必在端点。 $■$

典例精析

某电信公司两种上网套餐：A 每月 20 元月租、每小时 0.5 元；B 无月租、每小时 0.8 元。月上网多久时选 A 合算？

设月上网 $x$ 小时， $y_{A} = 0.5 x + 20$ ， $y_{B} = 0.8 x$ 。令相等： $0.5 x + 20 = 0.8 x$ ， $x = \frac{200}{3} \approx 66.7$ 小时。 $x > 66.7$ 时 $y_{A} < y_{B}$ 选 A； $x < 66.7$ 选 B；恰好相等时任选。

对比

模型	函数形式	关键动作
方案选择	两个 y=kx+b	求交点、分区间取小
分段计费	大括号分段	先判区间再代入
物资调运	y=kx+b 带约束	可行区间端点取最优
匀速变化	y=kx+b	定斜率 k 与初值 b

一次函数的实际应用

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

一次函数的实际应用

适用前提与边界条件

定义

推导

典例精析

对比

正例与反例

✅ 正例

❌ 反例

高频误解与考试易错

常见问题

依据与出处

延伸与前置

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