长方体的表面积、体积和棱长总和

定义

设长方体的长、宽、高分别为 $a$、$b$、$h$：

项目	公式	含义
棱长总和	$L=4(a+b+h)$	12 条棱的总长度
表面积	$S=2(ab+ah+bh)$	6 个面的面积之和
体积	$V=abh$	所占空间的大小

正方体是特殊的长方体（$a=b=h$），所以：

$L=12aS=6a^{2}V=a^3$

三个公式，三种「数什么」

学生把三个公式混用，根源是不清楚每个公式在「数什么」。

• 棱长总和：数的是棱（线段），12 条
• 表面积：数的是面（平面），6 个
• 体积：数的是空间（能装多少）

可以让学生拿一个实物长方体（鞋盒），用手指着数：数棱时摸边，数面时摸面，数体积时想象往里装东西。三个动作做完，公式就不会串。

棱长总和为什么乘 4

长方体有 12 条棱，按方向分成 3 组，每组 4 条且长度相等：

• 4 条长（$a$）
• 4 条宽（$b$）
• 4 条高（$h$）

$L=4a+4b+4h=4(a+b+h)$

学生最常犯的错就是只算 $a+b+h$——他心里想的是「三条不同的棱」，忘了每种都有 4 条。

纠正办法：让他拿鞋盒数一数，长边有 4 条、宽边有 4 条、高边有 4 条，一共 12 条。数过一次就记住了。

表面积公式里的 2

相对的面完全相同，所以 6 个面是 3 组：

面	面积	个数
上下	$ab$	2
前后	$ah$	2
左右	$bh$	2

$S=2ab+2ah+2bh=2(ab+ah+bh)$

学生常只算 $ab+ah+bh$（3 个面），漏了乘 2。

实际问题：先判断有几个面

与圆柱的表面积一样，做题第一步是数面：

实物	要算的面
完整纸盒	6 个面
无盖鱼缸、抽屉（无盖）	5 个面（去掉上）
粉刷教室（不刷地面和门窗）	5 个面减去门窗
通风管（两端开口）	4 个侧面

鱼缸是最经典的例子：无盖，所以只算 1 个底面 + 4 个侧面。

单位：三种量纲不能混

这是失分重灾区：

• 棱长总和用长度单位：cm、m
• 表面积用面积单位：${\text{cm}}^2$、${\text{m}}^2$
• 体积用体积单位：${\text{cm}}^3$、${\text{m}}^3$、（液体）L、mL

可以教学生一个自查方法：看题目问的是什么「量」，就用什么单位。 求「要用多少纸板」是面积，求「能装多少水」是体积。

典例精析

例 1 一个长方体长 5、宽 4、高 3，求棱长总和、表面积、体积。

棱长总和：$4\times (5+4+3)=4\times 12=48$

表面积：$2\times (5\times 4+5\times 3+4\times 3)=2\times (20+15+12)=2\times 47=94$

体积：$5\times 4\times 3=60$

注意三个答案数值不同、单位也不同——48（长度）、94（面积）、60（体积）。

例 2 一个正方体棱长 4，求棱长总和、表面积、体积。

$L=12\times 4=48$；$S=6\times 4^2=96$；$V=4^3=64$。

例 3 做一个无盖的长方体鱼缸，长 5、宽 4、高 3，至少需要多少玻璃？

去掉上面：$5\times 4+2\times (5\times 3)+2\times (4\times 3)=20+30+24=74$。

例 4 一个正方体棱长扩大到原来的 2 倍，表面积和体积分别扩大几倍？

表面积扩大 $2^2=4$ 倍，体积扩大 $2^3=8$ 倍。

这一题是本节最有价值的一题，它把面积与体积的区别说得最清楚：同样的放大倍数，面积按平方变，体积按立方变。

例 5 一个长方体容器从里面量长 $4\text{ dm}$、宽 $3\text{ dm}$、高 $2\text{ dm}$，能装多少升水？

体积 $=4\times 3\times 2=24$（${\text{dm}}^3$），$24{\text{ dm}}^3=24\text{ L}$。

（注意「从里面量」这个条件——求容积要用内部尺寸。）

课堂上的真实错法

错法一：棱长总和忘乘 4。 用数鞋盒的方法纠正。

错法二：表面积只算 3 个面。 强调「相对的面完全相同」。

错法三：单位写错。 用「问什么量就用什么单位」自查。

错法四：无盖问题套 6 个面。 先数面再算。

错法五：容积用外部尺寸。 提醒「从里面量」。

给家长的讲法

拿一个鞋盒，让孩子做三件事：

1. 数棱——摸着边数，会发现长边 4 条、宽边 4 条、高边 4 条，共 12 条
2. 数面——数出 6 个面，并发现相对的两个面一样大
3. 往里装东西——想象能装多少，这就是体积

做完这三件事，三个公式就都有了具体的「画面」，不再是抽象字母。

讲「棱长扩大 2 倍」那一题时，让他实际算一遍：棱长 2 的正方体表面积 24、体积 8；棱长 4 的正方体表面积 96、体积 64——96 是 24 的 4 倍，64 是 8 的 8 倍。亲手算出来的「4 倍和 8 倍」，比讲十遍公式印象更深。