圆柱的展开图、侧面积和表面积

圆柱的认识

圆柱是生活中最常见的立体图形：罐头、水杯、卫生纸卷、压路机滚筒都是圆柱。

圆柱的特征：

• 上下两个面叫底面，是两个完全相同的圆（大小、形状都一样）。
• 周围弯曲的面叫侧面，是一个曲面。
• 两个底面之间的距离叫高，圆柱有无数条高，且所有的高都相等。

把长方形绕它的一条边旋转一周，扫过的空间就是圆柱——所以圆柱是一种旋转体。

为什么展开图的长是底面周长

这一点必须让学生亲手做一次：拿一张纸卷成圆筒，再展开。

卷起来时，纸的一条边正好绕底面圆一圈——所以这条边的长度就是底面周长。展开后它变成长方形的长（或宽，取决于剪的方向）。

学生最容易犯的错是把这个长度当成半径或直径。讲的时候可以反问：“这条边是绕圆一圈的长度，那它是半径吗？“——绕一圈的长度当然是周长。

由此得到侧面积公式：

$S_{侧}=\text{底面周长}\times \text{高}=2\pi rh$

不需要背公式，记住”展开是长方形，长是周长、宽是高”就够了。

表面积：先数有几个面

表面积的公式是死的，实际问题却是活的。做题第一步先问自己：这个物体有几个面？

先看实物再套公式，这一条能避免一半的错误。课堂上可以让学生自己举例：生活中哪些东西是无盖的、哪些两端开口。

典例精析

例 1 一个圆柱底面半径 $2$、高 $5$，求侧面积和表面积。

侧面积：$2\times 3.14\times 2\times 5=62.8$。

底面积：$3.14\times 2^2=12.56$。

表面积：$62.8+2\times 12.56=87.92$。

例 2 一个无盖圆柱形水桶，底面半径 $2$、高 $5$，至少需要多少材料？

侧面 $62.8$ + 一个底 $12.56=75.36$。

例 3 一节通风管，长 $10$、底面半径 $1$，做这节管子需要多少材料？

通风管两端开口，只算侧面积：$2\times 3.14\times 1\times 10=62.8$。

例 4 一个圆柱侧面展开是正方形，底面半径 $1$，求它的高。

展开是正方形说明”底面周长 = 高”，所以 $h=2\pi r=2\times 3.14\times 1=6.28$。

例 5 一个圆柱形罐头，底面直径 $8$、高 $10$，侧面贴商标，商标纸面积是多少？（接头不计）

求侧面积：$C\times h=3.14\times 8\times 10=251.2$。

注意这里给的是直径，可以直接用 $C=\pi d$，不必先化半径——这是直径比半径好用的少数场合。

课堂上的真实错法

错法一：展开图的长搞错。 当成半径或直径。用”卷纸”实验纠正。

错法二：表面积漏底或多底。 无盖的加两个底，通风管也加底。用”数面”的方法纠正：做题前先说清楚算哪几个面。

错法三：直径半径混用。 给直径 $8$ 却代入 $r=8$。可以规定：先写 $r=$ 或 $C=$，再代公式。

错法四：侧面积与表面积串台。 题目问”商标纸面积”却求表面积。可以教学生看关键词：“侧面、商标、压路、滚动一周”→ 侧面积；“做这个、用料、铁皮”→ 表面积。

给家长的讲法

找一个圆柱形的罐头或纸筒，沿竖直方向剪开——孩子会看到一张长方形的纸。让他量一量这张纸的长，再量一量罐头底面的周长，会发现完全相等。这一下，“侧面积 = 底面周长 × 高”就不再是公式，而是他亲手验证过的事实。

讲无盖问题时，直接把家里真实的水桶、笔筒拿出来让孩子数面：“它有几个面？“答案一目了然，比在纸上讲”要不要乘 2”有效得多。

最后提醒一个高频考点：通风管、烟囱是没有底的——可以让他想想”烟囱上下都是通的，怎么可能有底”。