二次根式

定义

二次根式：形如 $\sqrt{a}(a\ge 0)$ 的式子叫二次根式。其中 ​ 是二次根号，$a$ 是被开方数。

被开方数必须非负：$\sqrt{a}$ 有意义 $\iff a\ge 0$。

这个条件要会正着用，也要会反着用：说「$\sqrt{a-2}$ 有意义」，就蕴含 $a-2\ge 0$，即 $a\ge 2$；说「$\sqrt{3-x}$ 有意义」，则 $x\le 3$。由根号反推字母的取值范围，是这一章最高频的小题。

三条基本性质

1. 非负性：$\sqrt{a}\ge 0(a\ge 0)$；
2. 平方还原：$(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$；
3. 平方开回：$\sqrt{a^2}=|a|$（$a$ 为任意实数）。

第 2、3 条是「孪生易错点」，区别在于运算顺序与适用范围：

式子	运算顺序	对 $a$ 的要求	结果
$(\sqrt{a}{)}^2$	先开方、再平方	$a\ge 0$，否则 $\sqrt{a}$ 本身无意义	$a$
$\sqrt{a^2}$	先平方、再开方	任意实数，因 $a^2\ge 0$ 恒成立	$\Vert a\Vert$

算术平方根只取非负的那一个值，所以 $\sqrt{a^2}$ 必须写成 $|a|$：$a\ge 0$ 时等于 $a$，$a<0$ 时等于 $-a$。

乘除运算法则

要求 $a\ge 0$、$b\ge 0$（除法还要求 $b>0$）：

$\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

$a$、$b$ 非负这个前提不能丢。若 $a$、$b$ 都是负数，$\sqrt{a}$ 与 $\sqrt{b}$ 本身无意义，而 $\sqrt{ab}$ 却有意义——这说明法则不能反着乱用。

最简二次根式的两条标准

化简的结果要同时满足：

1. 被开方数不含分母（分母里不能有根号，被开方数也不能是分数）
2. 被开方数中每个因数的指数都小于 $2$（即不含能开得尽方的因数）

例如 $\sqrt{12}$ 化简为 $2\sqrt{3}$ 后是最简的；$\sqrt{8}$、$\sqrt{\frac{1}{2}}$ 都不是。

化简的三步

1. 分解：把被开方数分解出完全平方因数，如 $12=4\times 3=2^2\times 3$
2. 开方：把能开尽的部分提到根号外，$\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$
3. 有理化：若分母还有根号，分子分母同乘分母中的根号（或它的共轭因式）化去

分母有理化的两种常见情形：

$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$

第二种用的正是平方差公式——乘上「共轭」因式，分母就变成了有理数。

加减法

二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的项，方法与合并同类项完全一样：

$\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

被开方数不同的不能合并，如 $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ 到此为止。

典例精析

化简 $\sqrt{12}$：

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

化简 $\sqrt{a^2}$（分段讨论）：

• 当 $a\ge 0$ 时，$\sqrt{a^2}=|a|=a$；
• 当 $a<0$ 时，$\sqrt{a^2}=|a|=-a$。

例如 $\sqrt{(-5{)}^2}=|-5|=5$，$(-\sqrt{3}{)}^2=3$。

再练一道由根号反推范围的：若 $\sqrt{x-1}+\sqrt{1-x}$ 有意义，求 $x$。

由 $x-1\ge 0$ 得 $x\ge 1$，由 $1-x\ge 0$ 得 $x\le 1$，两者同时成立只能是 $x=1$。这类题考的就是「被开方数非负」这一条，两个条件一起用往往能把字母卡成唯一值。

混合运算按「先乘除、后加减」进行，乘除各自化成最简后再合并同类根式：

$\sqrt{18}÷\sqrt{2}+\sqrt{48}÷\sqrt{3}=\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7$

与其他知识的联系

二次根式是算术平方根概念的延续，也是后面几块内容的计算工具：勾股定理求出的边长常常是 $\sqrt{2}$、$\sqrt{13}$ 这样的数；一元二次方程的求根公式本身就带着根号；解直角三角形时同样会出现含根号的结果。

它们的要求是同一条——结果化为最简，且根号里的东西不能为负。