立方根的概念与性质

定义

立方根：若 $x^3=a$，则 $x$ 称为 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$。求一个数立方根的运算叫开立方，它与三次乘方互为逆运算。

性质：

• 正数有一个正的立方根；
• 负数有一个负的立方根；
• $0$ 的立方根是 $0$。

对任意实数 $a$，有 $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。

对比

概念	记号	被开方数范围	根的个数（$a\ne 0$）	符号性质
平方根	$\pm \sqrt{a}$	$a\ge 0$	两个（互为相反数）	一正一负，算术平方根 $\sqrt{a}$ 非负
立方根	$\sqrt[3]{a}$	全体实数	一个	与 $a$ 同号

为什么负数也有立方根

关键在于次数的奇偶。平方会把符号抹掉：$(-2{)}^2=4$ 与 $2^2=4$ 相同，所以正数有两个平方根，而负数在实数范围内没有平方根。

立方则保留符号：$2^3=8$，$(-2{)}^3=-8$。一个数的三次方与它同号，因此方程 $x^3=a$ 对任意实数 $a$ 都恰有一个解，负数自然也有立方根，只是它为负。

由此得到两条常用结论，其中 $a$ 为任意实数：

$\sqrt[3]{a^3}=a$

$(\sqrt[3]{a}{)}^3=a$

注意第一条与平方根情形的差别：$\sqrt{a^2}=|a|$，因为算术平方根必须非负；而 $\sqrt[3]{a^3}=a$，因为立方根没有「取非负」的限制。

立方根的范围估计

遇到开不尽的数，可以用相邻整数的立方把它夹住：

$1^3=1<2<8=2^3\Rightarrow 1<\sqrt[3]{2}<2$

$3^3=27<30<64=4^3\Rightarrow 3<\sqrt[3]{30}<4$

夹逼的思路与估计平方根时完全一致：找与被开方数最接近的两个立方数。这类估计常用于判断结果的位数与大小，也是后续学习无理数时的常用工具。

典例精析

求下列各式的值：

• $\sqrt[3]{8}=2$，因为 $2^3=8$；
• $\sqrt[3]{-27}=-3$，因为 $(-3{)}^3=-27$；
• $\sqrt[3]{0.064}=0.4$，因为 $0.4^3=0.064$。

利用 $\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$ 可将负数的立方根转化为正数立方根的相反数来求，例如

$\sqrt[3]{-0.125}=-\sqrt[3]{0.125}=-0.5$

容易写错的地方是把立方根也写成两个值：$\sqrt[3]{8}$ 只等于 $2$，写成 $\pm 2$ 是把平方根的习惯搬到了立方根上。

与其他知识的联系

立方根与平方根一起，构成了「开方」这一族运算，它们是把有理数扩充到实数的入口：开方开不尽的数（如 $\sqrt{2}$、$\sqrt[3]{2}$）都是无理数，这正是实数这一章要处理的对象。

再往后，二次根式的化简只处理平方根，遇到 $\sqrt[3]{}$ 时要记得它不受「被开方数非负」的限制，也不要求结果非负。