平方根和算术平方根的区别

定义

设 $a\ge 0$。

平方根：若 $x^2=a$，则 $x$ 称为 $a$ 的平方根，记作 $\pm \sqrt{a}$。

算术平方根：其中非负的那个，称为 $a$ 的算术平方根，记作 $\sqrt{a}$。

读法与记号：$\sqrt{a}$ 读作「根号 $a$」，$a$ 叫做被开方数；$\pm \sqrt{a}$ 读作「正负根号 $a$」，它代表两个数，而不是一个数。求一个数的平方根的运算叫开平方，它与乘方互为逆运算。

为什么要求 $a\ge 0$：在实数范围内，任何实数的平方都不可能是负数，因此当 $a<0$ 时，方程 $x^2=a$ 无解，$\sqrt{a}$ 也就没有意义。

对比

概念	记号	取值范围	个数（$a>0$）
平方根	$\pm \sqrt{a}$	正负都有	两个（互为相反数）
算术平方根	$\sqrt{a}$	$\ge 0$	一个

三条判定要点：

• 正数有两个平方根，它们互为相反数，和为 $0$
• $0$ 的平方根与算术平方根都是 $0$，只有一个
• 负数在实数范围内没有平方根

两个容易混的式子

$(\sqrt{a}{)}^2=a(a\ge 0)$

$\sqrt{a^2}=|a|$

第一个式子要求 $a\ge 0$，否则 $\sqrt{a}$ 本身无意义。它的运算顺序是「先开方、再平方」，结果就是被开方数。

第二个式子里的 $a$ 可以是任意实数：因为 $a^2\ge 0$，先平方就保证了被开方数非负，再开方得到的结果必须非负，所以要写成 $|a|$ 而不是 $a$。当 $a\ge 0$ 时 $\sqrt{a^2}=a$；当 $a<0$ 时 $\sqrt{a^2}=-a$。

典例精析

判断题「$\sqrt{a}$ 一定是正数」：错。$a=0$ 时 $\sqrt{a}=0$，正确的说法是 $\sqrt{a}\ge 0$，即非负。

解方程 $x^2=9$ 必须写 $x=\pm 3$。这里求的是平方根：满足 $x^2=9$ 的数有两个。若只写 $x=3$，就漏掉了 $x=-3$。

反过来，求 $\sqrt{9}$ 只能等于 $3$。记号 ​ 本身表示算术平方根，写成 $\sqrt{9}=\pm 3$ 是把两个概念混在了一起。

再看 $\sqrt{(-3{)}^2}$：先算被开方数 $(-3{)}^2=9$，再开方得 $3$，也就是 $|-3|$，它不等于 $-3$。

由记号反推取值范围也是常见考法：说「$\sqrt{a}$ 有意义」，就蕴含 $a\ge 0$；说「$\sqrt{-a}$ 有意义」，则蕴含 $-a\ge 0$，即 $a\le 0$。

与其他知识的联系

算术平方根「只取非负」这个特性，后面会反复用到：二次根式化简要求结果非负；勾股定理中由两直角边求斜边时，斜边取 $\sqrt{a^2+b^2}$ 的正值；平面直角坐标系中两点间距离公式同样如此。它们都用到了同一件事——​ 只取非负的那一个值。